При исследовании экономических процессов часто приходится моделировать ситуации, когда значение в текущий момент времени формируется под воздействием факторов, действовавших в прошлые моменты времени: Задержанные значения факторов называют лаговыми значениями, а наибольшую величину задержки называют длиной лага Модель вида
называют моделью с распределенным лагом. В качестве объясняющих причин также могут выступать лаговые значения зависимой переменной .
Модель вида
называются моделями авторегрессии. Может быть составлена такая модель общего вида:
.
Она может быть разложена на 2 составляющие:
- составляющая с распределенным лагом длины ,
- авторегрессионная составляющая порядка .
11.1. Интерпретация параметров модели с распределенным лагом
Коэффициент характеризует средние абсолютное изменение объясняемой переменной при изменении регрессора на одну единицу собственного измерения в момент без учета воздействия лаговых значений переменной x. Поэтому называют – краткосрочным мультипликатором. Сумму коэффициентов от до называют долгосрочным мультипликатором, его обозначают без индекса.
|
|
Относительные коэффициенты такой модели выражаются формулой.
.
Если все имеют знак «+» и значение каждого коэффициента заключено между 0 и 1, а сумма всех коэффициентов от до , то можно ввести следующие характеристики:
1.Средний лаг , где - средний период, в течение которого будет происходить изменение под воздействием изменения. Небольшая величина говорит о быстром реагировании y на изменение фактора и наоборот.
2.Медианный лаг ; он представляет такой период, в течение которого, начиная с момента , будет реализована половина общего воздействия фактора на объясняемую переменную.
Применение классического МНК к модели с распределенным лагом осложняется следующими причинами:
1) текущие и лаговые значения фактора обычно тесно связаны друг с другом и оценка параметров будет производиться в условиях сильной мультиколлинеарности;
2) при большой длине лага снижается число наблюдений и увеличивается число регрессоров;
3) в модели с распределенным лагом часто возникает проблема автокорреляции в остатках.
11.2. Интерпретация параметров модели авторегрессии
Рассмотрим простейшую модель авторегрессии, а именно модель первого порядка :
.
Так же, как и в модели с распределением лагом, коэффициент является краткосрочным мультипликатором. Долгосрочный мультипликатор будет вычисляется как сумма членов геометрической прогрессии:
К моменту времени результативный признак изменяется под воздействием изменения фактора в момент времени на величину , а
|
|
– под воздействием своего изменения в непосредственно предшествующий момент изменяется на величину . Таким образом, результирующее изменение результативного признака в момент будет равно и так далее.
Произведение можно рассматривать как промежуточный мультипликатор.
– эта прогрессия возникает в силу рекуррентности формулы авторегрессии и она будет являться бесконечной. Используя формулу для бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая является сходящимся рядом, можно найти сумму этого ряда:
, где .
Заметим, что такая интерпретация коэффициентов регрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предположении бесконечного лага.
11.3. Соображения о выборе лаговых структур в модели с распределенным лагом
Текущее значение фактора и его лаговые значения оказывают на результативный признак различное по силе воздействие. В большинстве моделей, описывающих реальные экономические процессы, коэффициенты регрессии при лаговых переменных убывают с ростом величины лага, но это не обязательно.
Вообще говоря, в большинстве случаев строят предположения о структуре лага на основе экономической теории или на результатах эмпирических исследований.
11.4. Полиномиальные лаговые структуры Алмон
Рассмотрим модель, в которой распределенный лаг имеет конечную длину . Зависимость коэффициентов регрессии от величины лага описывается полиномом, в общем случае, некоторой степени .
Для полинома 1-ой степени:
2-ой степени:
3-ей степени:
4-ой степени:
В развернутом виде коэффициенты перепишутся так:
Тогда уравнение можно записать таким образом:
Суммы в скобках последнего выражения можно принять за новые переменные z 0, z 1, …, z k и тогда получим уравнение:
Чтобы рассчитать параметры модели с распределенным лагом нужно выполнить следующие действия:
1) определить длину лага . Это можно сделать на основе имеющегося опыта или перебрать несколько значений ; обычно от 2 до 5,
2) установить степень полинома ; обычно от 2 до 4,
3) по записанным выше формулам и таблице наблюдений, содержащей значения , рассчитать значения новых переменных
4) выполнить регрессию на набор переменных , и определить коэффициенты
5) по формулам для рассчитать все значения параметров исходной модели:
Несмотря на значительную привлекательность описанного выше метода, существуют следующие проблемы:
1. Не всегда легко выбрать длину лага , но лучше ориентироваться на максимально возможную длину лага (в разумных пределах), чем сразу ограничиваться лагами малой длины. В противном случае можно потерять существенный регрессор, то есть составить неправильную спецификацию модели. Влияние потерянного существенного регрессора будет сказываться в остатках, то есть в модели не станут соблюдаться предпосылки МНК по случайности остатков. Оценки параметров могут оказаться не только неэффективными, но и смещенными. Если лаг выбран слишком длинным, то в модель могут попасть несущественные факторы; эффективность оценок параметров может снизиться, но они останутся несмещенными. Если аналитик располагает достаточными ресурсами времени и вычислительными ресурсами, можно построить несколько моделей с различными значениями и сравнить их качество.
2. При выборе степени полинома обычно ограничиваются значениями 2,3,4, руководствуясь следующим соображением: степень полинома должна быть на единицу больше, чем число экстремумов в структуре лага.
3. Переменные представляют собой линейные комбинации лаговых значений фактора x и поэтому будут сильно коррелировать между собой, если имеет место высокая степень связи между исходными данными то есть имеет место автокорреляция во временном ряду объясняющих переменных.
|
|
Следует заметить, что при определении параметров с помощью МНК мультиколлинеарность переменных скажется меньше, чем мультиколлинеарность переменных при непосредственном определении параметров из исходного уравнения.
Преимущества метода лаговых структур Алмон:
1. Существует возможность воспроизвести достаточно разнообразные структуры лага с помощью подбора полинома нужной степени.
2. При небольшом количестве переменных можно построить модели с распределенным лагом произвольной длины.
11.5. Геометрические структуры Койка
В модели Койка предполагается, что в уравнении регрессии имеет место бесконечный лаг, но коэффициенты при лаговых переменных убывают в геометрической прогрессии, отсюда название – геометрическая структура Койка.
Последнее уравнение справедливо для всякого момента времени, в том числе и для момента ; поэтому можно записать:
.
Умножим последнее уравнение на и вычтем из предыдущего:
Краткосрочный мультипликатор рассчитывается как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
.
Если считать, что объясняющая переменная стремится к равновесию , то значения и будут также стремиться к своему равновесному значению :
Здесь возможны следующие проблемы:
В уравнении регрессии регрессор в принципе носит случайный характер, так как содержит остаток , а значит, нарушается одна из предпосылок МНК. Для случайных остатков будет иметь место автокорреляция. Если учесть случайный характер регрессора и автокорреляция в остатках выражена достаточно сильно, то оценки параметров, полученные с помощью классического МНК, могут оказаться несостоятельными и смещенными.
Средний и медианный лаги модели Койка вычисляются таким образом:
Видно, что если то . При ; при. Величину объясняют как скорость, с которой происходит во времени адаптация объясняемой переменной к изменению объясняющей переменной .
11.6. Оценка параметров авторегрессионных моделей первого порядка (AR(1)–моделей)
Такая модель выглядит следующим образом: .
|
|
Авторегрессионная модель довольно часто используется в эконометрических исследованиях, но при их построении возникает 2 проблемы:
Первая проблема касается выбора метода оценки параметров: так как в правой части регрессионного уравнения присутствует лаговая переменная , то тем самым нарушается предпосылка МНК о делении переменных на стохастическую объясняемую переменную и детерминированную объясняющую переменную;
Вторая проблема состоит в том, что регрессор явным образом коррелирует с остатком и тем самым нарушается 4–е условие Гаусса-Маркова. Поэтому применение классического МНК для оценки параметров этой модели приводит к получению смещенной оценки коэффициента c 1.
Популярным методом расчета параметров AR– модели является метод инструментальных переменных (ИП). Суть этого метода заключается в следующем: та переменная в правой части AR–модели, для которой нарушается предпосылка МНК, заменяется на другую переменную, которая эту предпосылку не нарушает. Применительно к модели заменить на инструментальную переменную следует лаговую переменную . Эта переменная должна обладать двумя свойствами:
1) сильно коррелировать с ,
2) быть детерминированной и не коррелировать с остатком.
Рассмотрим два способа получения инструментальной переменной:
Способ 1. Так как в модели переменная зависит не только от , но и от фактора , то можно построить модель с одним регрессором и теоретическое значение , полученное с помощью такой модели, можно использовать в качестве инструментальной переменной.
Параметры в последнем уравнении можно найти с помощью классического МНК. Здесь оценка тесно коррелирует с наблюдаемой переменной и является линейной функцией от фактора , для которого 4–е условие Гаусса–Маркова не нарушается. Следовательно, ИП также не будет коррелировать с остатком . Таким образом, оценки параметров уравнения можно найти из соотношения
.
Способ 2. Подставим в AR – уравнение вместо его выражение
, тогда получим:
Мы получили уравнение модели с распределенным лагом, для которой можно применить классический МНК.
В результате последовательного проведения двух регрессий мы получаем следующие значения:
Практическая реализация метода инструментальных переменных осложняется следующими обстоятельствами:
– при способе 1 возникает интеркорреляция между переменными и ; так как функционально связана с , то можно ожидать упомянутую выше интеркорреляцию.
– при способе 2 может помешать такое обстоятельство, что в исходной модели больше коррелирует с , чем с . Тогда модель , а значит и модель будут не вполне достоверно представлять переменную в правой части для модели по второму способу.
Эти проблемы иногда удается смягчить путем включения в модель временного фактора в качестве независимой переменной.
11. 7. Модель адаптивных ожиданий
Методы, которые созданы для построения и анализа DL– и AR– моделей, можно использовать для верификации макроэкономических моделей, учитывающих определенные ожидания относительно значений экономических показателей, включенных в модель в момент времени t. Рассмотрим модель адаптивных ожиданий вида:
.
Здесь yt – фактическое значение результативного признака (объясняемой переменной), а – ожидаемое значение факторного признака в момент t+ 1.
Механизм формирования ожиданий в этой модели следующий:
Таким образом, ожидаемое значение фактора в некоторый момент времени t+ 1 представляет собой средневзвешенное его фактического и ожидаемого значений в предыдущий период t. Видно, что в каждый период t+ 1 ожидания корректируются на некоторую долю от разности между фактическим и ожидаемым значениями фактора в предыдущий период. Параметр называют коэффициентом ожиданий. Чем ближе он к единице, тем в большей степени реализуются ожидания экономического агента, и наоборот, приближение коэффициента к нулю свидетельствует об устойчивости существующих тенденций. Это означает, что условия, доминирующие сегодня, будут сохраняться на будущие периоды времени.
В уравнение подставим выражение и получим
. (*)
Далее, если рассматриваемая изначально модель имеет место для момента или периода t, то она очевидно будет действовать и в период t– 1, а значит мы можем записать: . Умножим последнее уравнение на и вычтем из уравнения (*):
.
Теперь мы можем определить параметры последнего авторегрессионного уравнения и легко перейти к исходной модели. По найденному в результате регрессионного анализа коэффициенту отыскивается коэффициент , по коэффициенту при отыскивается коэффициент b, а по свободному члену отыскивается свободный член исходного уравнения a.
Различие между начальным и последним уравнениями состоит в том, что первая модель включает в себя ожидаемое значение фактора и к ней нельзя применять классические статистические методы. Последняя же модель включает в себя только фактические, то есть наблюдаемые значения переменных и ее параметры можно определить.
Однако, как и в случае с моделью Койка, применение классического МНК приведет к смещению оценок параметров ввиду наличия в правой части лагового значения результативного признака .