Предел последовательности. Арифметические действия над пределами. Предел монотонной последовательности

Лекция 1. Последовательность и ее предел. Теоремы о пределах. Предел монотонной последовательности. Числовые ряды, их сходимость и расходимость. Действия со сходящимися рядами. Признак Коши сходимости рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения, Даламбера и Коши

На предыдущих лекциях подробно изучались функции непрерывного аргумента, их пределы и свойства пределов. В теории рядов фундаментальную роль играют последовательности (т.е. функции дискретного аргумента) и их пределы. Перейдем к изучению соответствующего теоретического материала.

Последовательностью называется функция натурального аргумента. При этом называется общим членом, а множество областью определения последовательности

Например, последовательность, называе-

мая арифметической прогрессией (постоянные, не зависяшие от). Другой пример: Здесь областью определения является множество

Определение 1. Число называется пределом последовательности при если ^[1] При этом пишут и если этот предел существует и конечен, то говорят, что последовательность сходится; в противном случае она называется расходящейся последовательностью.

Перечислим основные свойства предела последовательности.

1. Если предел существует, то он единственный.

2. Если в последовательности отбросить любое конечное число членов или заменить их на любые другие числа, то новая последовательность и старая последовательность будут одновременно расходиться или сходиться (к одному и тому же пределу).

Из этого свойства вытекает, что, не умоляя общности, можно считать, что последовательность определена при всех

3. Если предел существует и конечен, то последовательность ограничена, т.е.

4. Если пределы существуют и конечны, то сущес-

твуют и пределы

Если при этом то существует и предел частного

5(критерий Коши сходимости). Для того чтобы существовал конечный пределнеобходимо и достаточно, чтобы

6. При любом фиксированном последовательности и одновременно сходятся или одновременно расходятся, причем в случае сходимости они имеют один и тот же предел

7.Если последовательность не убывает (т.е. если) и ограничена сверху (т.е.), то она имеет конечный предел Аналогичное утверждение верно и для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности

Определение 2. Последовательность называется бесконечно малой, если При этом пишут Две бесконечно малые последовательности и называются эквивалентными, если. При этом пишут

8. Для того чтобы существовал (конечный) предел необходи-

мо и достаточно, чтобы имело место представление

9. Если то

При вычислении пределов последовательности часто используется следующая таблица эквивалентных бесконечно малых.

Таблица 1.

Если при то при верны следующие соотношения:

.

10)

Например, при вычислении предела заменяем,

Будем иметь

2. Числовые ряды, их сходимость и расходимость. Действия со сходящимися рядами. Признак Коши сходимости. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости для знакоположительных рядов

Мы переходим к изучению бесконечных сумм, называемых рядами. Дадим их точное определение и придадим им здравый математический смысл.

Определение 3. Формальная сумма бесконечного числа слагаемых (чисел), называется числовым рядом. При этом конечная сумма называется й частичной суммой этого ряда, его общим членом, а сумма м остатком этого ряда.

Определение 4. Говорят, что ряд сходится к сумме если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. При этом пишут Если указанный предел либо не существует, либо равен бесконечности, то говорят, что ряд расходится.

На языке “ ” это определение записывается так:

Ряд сходится к сумме

Важный пример. Рассмотрим ряд

(геометрическая прогрессия).

Здесь: знаменатель, первый член прогрессии. Вычислим частичную сумму

Отсюда видно, что если то Если или то Если же то Эта последовательность не имеет предела при Согласно определению 4 получаем, что при прогрессия (1) сходится к сумме а при она расходится.

Применяя свойство 2, сформулированное выше, к последовательности частичных сумм ряда, приходим к выводу, что на сходимость (расходимость) этого ряда не влияет его любое конечное число членов; их можно отбросить или заменить на другие числа. Вновь полученный ряд будет вести себя в смысле сходимости расходимости так же, как и исходный ряд.

Из свойства 4, примененного к частичным суммам сходящихся рядов

вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Если ряды (2) и (3)сходятся к суммам и соответственно, то при любых значениях постоянных и сходится и ряд причем

Эта теорема показывает, что сходящиеся ряды подчиняются тем же арифметическим законам, что и конечные суммы. Применяя свойство 5 к последовательности частичных сумм ряда (2), получим следующий критерий Коши сходимости для рядов:

10. Для того чтобы ряд (2) сходился, необходимо и достаточно, чтобы

Применим этот критерий для доказательства необходимого признака сходимости ряда.

Теорема 2. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.

Доказательство. Так как указанный ряд сходится, то для его частичных сумм справедлив признак Коши10, который при переходит в высказывание

Это высказывание означает, что а, следовательно Теорема доказана.

Замечание 1. Утверждение, обратное к теореме 1, вообще говоря, не верно. Например, ниже будет показано, что так называемый гармонический ряд расходится. Однако его общий член при Полезность необходимого признака заключается в том, что если общий член при то ряд заведомо расходится. Например, ряды расходятся, так как их общие члены не стремятся к нулю при

Используя критерий Коши сходимости 10, нетрудно доказать также следующее утверждение.

11. Если остаток при каком-нибудь сходится, то и сходится сам ряд Обратно: если сходится ряд то при любом сходится и любой его остаток причем

Кстати, из этой теоремы также вытекает, что на сходимость (расходимость) ряда не влияет любое конечное число его членов. Ниже будет использоваться следующее очевидное утверждение.

11. Какова бы ни была постоянная ряды сходятся или расходятся одновременно.