Дана система нелинейных уравнений
(10.5) |
или
Необходимо решить эту систему, т.е. найти вектор , удовлетворяющий систему (10.5) с точностью .
Метод Ньютона наиболее распространенный метод решения систем нелинейных уравнений. Он обеспечивает более быструю сходимость по сравнению с методом итераций.
В основе метода Ньютона лежит идея линеаризации всех нелинейных уравнений системы (10.5). Сообщим всей системе (10.5) малые приращения hj и разложим каждое уравнение системы (10.5) в ряд Тейлора:
(10.6) |
где
hj- приращение по каждой xj;
Ri - остаточные нелинейные члены второго и более высоких порядков каждого ряда Тейлора.
Если приращения hj таковы, что переменные xj принимают значения близкие к корню, то будем считать, что левые части уравнений системы (10.6) обращаются в нули. Тогда отбросив Ri сведем задачу решения системы нелинейных уравнений (10.5) к решению системы линейных уравнений, в которой неизвестными являются приращения hj,
(10.7) |
Система (10.7) – система линейных уравнений с неизвестными hj, . Запишем (10.7) в матричной форме
|
|
где
(3.3) |
(10.7) |
Матрица А, составленая из частных производных ; называется матрицей Якоби или Якобианом.
Метод Ньютона состоит из двух этапов:
На первом этапе реализации метода Ньютона необходимо построить систему (11.3).
На втором этапе, начиная с начальной точки , необходимо решать систему (11.3) на каждом шаге итерационного процесса поиска методом Гаусса. Найденные значения приращений hj используются как поправки к решению, полученному на предыдущем шаге поиска, т.е.
(10.8) |
или
Итерационный процесс прекращается, как только выполнится условие
(10.9) |
по всем приращениям одновременно.