Лекция: Компьютерное моделирование и решение линейных и нелинейных многомерных систем

Лекция рассматривает метод и алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса

При моделировании экономических задач, таких как задачи управления и планирования производства, определения оптимального размещения оборудования, оптимального плана производства, оптимального плана перевозок грузов (транспортная задача), распределения кадров и др., может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.

Математические модели таких задач представляются линейными уравнениями. Если задача многомерна, то ее математическая модель представляется системой линейных уравнений.

Линейные математические модели также используются в нелинейных системах при условии, если эта нелинейная система условно линеаризирована.

В общем виде система линейных уравнений имеет вид:

где

a_ij- коэффициенты при неизвестных системы,

b_i- свободные члены,

x_j- неизвестные системы,

- номер строки,

- номер столбца,

n - порядок системы.

В матричной форме система линейных уравнений имеет вид:

где

Численные методы решения систем линейных уравнений (СЛУ) можно разделить на две группы:

1. точные или прямые методы,
2. приближенные методы.

Приближенные методы реализуют на ЭВМ нахождение корней с заданной точностью и являются итерационными методами.

Точные методы позволяют получить решение системы за конечное число итераций. К точным методам относятся:

• правило Крамера,
• метод Гаусса,
• метод прогонки.