Инверсионные оси симметрии

 

Более сложным элементом симметрии являются инверсионные оси. Инверсионной осью называется воображаемая прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол с одновременным отражением в центральной точке фигуры как в центре симметрии, фигура совмещается сама с собой. Таким образом, инверсионная ось представляет собой результат совместного симметричного преобразования поворотной оси и одновременного отражения в центре симметрии. При этом, в геометрическом многограннике, обладающем инверсионной осью центра симметрии может и не быть. В качестве примера фигуры с инверсионной осью шестого порядка, но не имеющей центра инверсии, можно указать тригональную призму (рис. 1.10).

 Так же как и в прямых поворотных, инверсионных осей пятого и выше шестого порядков, в кристаллах не может быть. В символе инверсионной оси перед индексом ее порядка ставится строчная латинская буква i. Для кристаллов доказана возможность существования инверсионных осей 3-го, 4-го и 6-го порядков L_i3, L_i4 и L_i6.

Операции симметрии, осуществляемые инверсионными осями, могут совпадать с преобразованиями, производимыми другими элементами симметрии. Инверсионная ось первого порядка эквивалентна центру симметрии (L_i1 = C), второго порядка ¾ плоскости симметрии (L_i2 = m), а третьего порядка соответствует совместному действию центра симметрии и тройной оси (L_i3 = L₃C). В частности, инверсионной осью третьего порядка обладает ромбоэдр, представляющий из себя фигуру в виде деформированного куба, вытянутого или сжатого по одной из осей L₃.

Примером многогранника с инверсионной осью четвертого порядка служит тетрагональный тетраэдр (рис.1.9). При повороте ребра S₁S₂ вокруг оси S₄S₅ на 90⁰ (S₇S₈) и последующем отражении в центре симметрии 0 происходит его совмещение с S₃S₄. Фигура совмещается сама с собой также и в результате симметричного преобразования, производимого простой поворотной осью симметрии L₂.

 

Рис. 1.9. Инверсионная ось четвертого порядка в тетрагональном тетраэдре

 

Инверсионной осью шестого порядка обладает призма, основаниями которой служат равносторонние треугольники (рис. 1.10). S₁S₂ – ось симметрии L₃. Если многогранник повернуть вокруг этой оси на 60⁰ и одновременно отразить в центре симметрии С, то фигура совместится со своим первоначальным положением.

 

 

Рис. 1.10. Инверсионная ось шестого порядка в тригональной призме

 

Инверсионная ось четвертого порядка всегда является одновременно простой двойной поворотной осью, а инверсионная ось шестого порядка ¾ тройной поворотной осью (но не наоборот).

Суммируя проведенный обзор возможных элементов симметрии кристаллических многогранников приходим к окончательному выводу о том, что внешняя, видимая симметрия кристаллов исчерпывающе описывается следующими элементами симметрии: L₆, L₄, L₃, L₂, L _i6, L_i4, Р и С. Эти же элементы в терминах международной символики ¾ 6, 4, 3, 2, 6, 4, m и C (см. табл. 1.1).

 

Теоремы о сочетании элементов симметрии

Замечательной особенностью симметричных геометрических фигур служит сочетание в них операции симметрии друг с другом. Доказано, что два последовательно выполненных симметричных преобразования всегда могут быть заменены эквивалентным третьим преобразованием, действие которого равно суммарному преобразованию двух первых. Возможны и другие сочетания симметричных преобразований. Однако, не все сочетания элементов симметрии возможны, в частности, ось L₄ ни при каких преобразованиях не может быть перпендикулярна осям L₆ или L₃.

Существует ряд теорем, позволяющих строго математически вывести все возможные совокупности элементов симметрии. Сложение элементов играет огромную роль в кристаллографической практике так, как дает возможность находить новые совокупности этих элементов.

Приведем без доказательства наиболее важные теоремы. Их полный вывод можно найти в любом учебнике по кристаллографии.

Теорема 1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии всегда является осью симметрии, действие которой равно сумме действий обеих плоскостей; элементарный угол поворота этой оси вдвое больше угла между плоскостями.

Теорема 1a (обратная). Действие одной оси симметрии с элементарным углом поворота a равносильно отражению в двух плоскостях симметрии, проходящих вдоль оси под углом a /2 (отсчет угла производится в направлении поворота).

Теорема 2. Точка пересечения четной оси L_2n с перпендикулярной к ней плоскостью симметрии Р есть центр симметрии (инверсии) С.

Теорема 2a (обратная). При наличии центра симметрии С и четной оси L_2n ¾ перпендикулярно последней проходит плоскость симметрии.

Теорема 2б (обратная). При наличии центра симметрии С и проходящей через него плоскости симметрии, перпендикулярно последней через центр проходит четная ось симметрии L_2n.

Теорема 3. При наличии оси симметрии порядка L_2n и проходящей перпендикулярно к ней двойной оси L₂ всего имеется n таких осей n L₂ , перпендикулярных L_2n.

Теорема 4. При наличии оси симметрии n-го порядка L_2nи проходящей вдоль нее плоскости симметрии Р имеется n таких плоскостей nР.

Теорема 5 (теорема Эйлера). Равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересечения.

Теорема 6. Плоскость, проходящая вдоль четной инверсионнной оси симметрии L_i2n приводит к появлению оси второго порядка L₂, перпендикулярной инверсионнной оси и проходящей по биссектриссе угла меду плоскостями. 

Полное сочетание всех элементов симметрии кристаллического многогранника называется его классом или видом симметрии.