Иные функции распределения

Кроме нормального распределения для статистических исследований используются следующие: гамма-распределение, бета-распределение, логарифмическое нормальное распределение, экспоненциальное распределение, распределение Вейбулла, распределение Пирсона, распределение Стьюдента, распределение Фишера.

Гамма-распределение

Это одна из наиболее общих статистических моделей. Она используется для описания случайных величин, ограниченных с одной стороны. Гамма-распределение имеет важную роль в теории массового обслуживания, где рассматриваются задачи с ожиданием в очереди, обслуживанием клиентов и т.д. Например, если поставка некоторой продукции производится партиями объемом , а заявки на продукцию поступают независимо друг от друга с постоянной интенсивностью  единиц в неделю, то промежуток времени, за который будет реализована вся партия продукции, является случайной величиной, имеющей гамма-распределение.

Функция гамма-распределения в Excel имеет следующий синтаксис:

ГАММАРАСП(x; эта; бета; интегральная),

где x – значение, для которого вычисляется гамма-распределение;

эта () – параметр распределения;

бета () - параметр распределения, который берется как обратный к аргументу , т.е. =1/ ;

интегральная – логическое значение, определяет форму функции. Если интегральная=1, то функция ГАММАРАСП рассчитывает интегральную функцию распределения, если интегральная=0 – функцию плотности распределения.

Математическое ожидание и дисперсия гамма-распределения имеют вид

, .                                        (2.6)

Пример 2.3 Паромная переправа осуществляет доставку контейнеров на другой берег реки. Паром отправляется в рейс, как только на него загрузят 10 контейнеров ( =10). Контейнеры доставляют на паром независимо друг от друга с интенсивностью 6 контейнеров в час ( =6). Требуется определить вероятность того, что время между последовательными рейсами парома будет: а) менее 1 часа, б) менее 1,5 часа, в) менее 2 часов.

Результаты решений приведены в таблице 2.5, где даны и другие вероятности времени отправки парома после загрузки 10 контейнеров. Пример заполнения функции ГАММАРАСП аргументами для первого варианта выглядит так:

 

=ГАММАРАСП(1;10;1/6;1)

 

 

Таблица 2.5

	Время отправки менее чем через, час.	Вероятность
а)	1	0,084
б)	1,5	0,413
в)	2	0,758
	2,5	0,930
	3	0,985

 

График функции распределения представлен на рис.2.4.

 

рис.2.4

Обратное гамма-распределение используется в ситуациях, когда известна (или задана) вероятность определенного значения случайной величины и необходимо рассчитать это значение. В Excel это функция ГАММАОБР, которая имеет следующий синтаксис:

ГАММАОБР(вероятность; альфа; бета)

Для примера 2.3 определим с вероятностью 0,95 минимальное время между двумя рейсами (или максимальное время t простоя парома под загрузкой контейнерами). Учитывая, что когда считаем время простоя, в формулу вводится вероятность времени простоя равное

1-0,95=0,05.

Тогда функция при заполнении имеет вид

=ГАММАОБР(0,05; 10; 1/6)

Оформим Результат оформлен таблицей 2.6.

Таблица 2.6

Вероятность максимального времени простоя	0,95
Время простоя (доля)	0,904234
Время простоя в мин	54,3

 

Полученный результат говорит о том, что время отправки груженого парома равно или превысит 54,3 минуты с вероятностью 95%.

Определите самостоятельно время максимального простоя под загрузкой с вероятностью 85%, с увеличением интенсивности поставки контейнеров до 8 в час.

 

Бета-распределение

Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом. Примерами такой случайной величины может служить доля дефектных изделий на производственной линии, оценка продолжительности определенного этапа работы при календарном планировании по методу PERT и др.