III. Признак Коши (в предельной форме)

Теорема. Если для положительного ряда  существует конечный предел , то

а) при С<1 ряд сходится, а

б) при С>1 – расходится.

Доказательство производится аналогично признаку Даламбера (см. Увар., т. 2,стр. 24)

Пример.

- ряд сходится.

Замечание 1. Если , то ряд будет расходится.

Замечание 2. Если  1) не существует или 2) равен 1, то признак Коши, как и признак Даламбера, не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

IV. Интегральный признак Коши

Признаки Даламбера и Коши не всегда являются эффективными при исследовании характера данного ряда.

Рассмотрим еще один признак, который позволяет иногда решать вопрос о сходимости ряда с положительными членами в тех случаях, когда рассмотренные выше признаки оказываются непригодными.

Этот признак основан на сравнении данного ряда с некоторым несобственным интегралом I рода от функции , значения которой при последовательных целых значениях аргумента дают все члены этого ряда.

Теорема. Дан положительный ряд  (1); если существует не возрастающая непрерывная ф-ия , где  , такая, что , то

1) ряд (1) сходится, если сходится несобственный интеграл  ; и

2) расходится, если этот интеграл расходится.

Доказательство: рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линией , где  - непрерывная, невозрастающая функция, с основанием от х=1 до х=n.