Теорема 1. Если для ряда с положительными членами существует конечный предел (1) отношения (n+1)-го члена к n-му, то
а) при Д<1 ряд расходится, а
б) при Д>1 – расходится.
Доказательство.
а) Пусть Д<1. Возьмем любое число q, удовлетворяющее неравенствам 0<Д<q<1
Тогда из соотношения следует, что существует такое натуральное число N, что для всех значений будет справедливо неравенство
В последнем неравенстве полагаем n=N, N+1, …
(2)
или (2/)
Рассмотрим теперь два ряда:
(3) и
(4).
Ряд (4) сходится (как геометрический ряд со знаменателем ). Члены же положительного ряда (3) как показывают неравенства (2/), меньше соответствующих членов ряда (4). Следовательно, на основании принципа сравнения рядов этот ряд также сходится.
Но тогда сходится и данный ряд (на основании теоремы о сходимости остатка ряда), т. к. ряд (3) представляет собой N-й остаток ряда .
б) Пусть теперь Д>1.
Тогда из соотношения следует, что начиная с некоторого номера N, будет иметь место неравенство
Последнее неравенство означает, что члены ряда , начиная с номера N, образуют возрастающую последовательность положительных чисел и, следовательно, общий член этого ряда не стремится к нулю при .
|
|
Но в таком случае в силу следствия из необходимого признака сходимости ряд расходится.
Пример. Выяснить, сходится ли ряд
Имеем:
на основании признака Даламбера данный ряд сходится.
Пример 2.
Имеем:
Т. к. , то ряд расходится.
Замечание 1. В тех случаях, когда 1) или 2) не существует признак Даламбера ответа не дает на вопрос о том, сходится или расходится ряд.
При этом ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. В этом, так называемом, сомнительном случае вопрос о характере данного ряда приходится решать как-либо иначе.
Пример.
. Признак Даламбера ответа не дает на вопрос о сходимости данного ряда. Между тем принцип сравнения рядов решает этот вопрос: при всех значениях n, а ряд с общим членом сходится. Следовательно, данный ряд сходится.
Замечание 2. Ряд будет расходится и в том случае, когда
Пример.
. следовательно, данный ряд расходится.