Обчислення значення функції

1 2 3 4 5 6 7

ЗМІСТ

Вступ. 5

1..... НАБЛИЖЕНІ ОБЧИСЛЕННЯ.. 5

Задачі 18

2..... ОБЧИСЛЕННЯ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ 20

2.1 Схема Горнера. 20

2.2 Обчислення за допомогою степеневих рядів. 21

2.3 Обчислення за методом ітерацій. 24

Задачі 26

3. ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ 27

3.1 Етап відділення коренів. 27

Задачі 31

3.2 Метод поділу відрізка навпіл. 31

3.3 Метод простої ітерації 33

3.4 Метод хорд і метод дотичних. 37

3.5 Комбінований метод. 38

3.6 Модифікований метод Ньютона (дотичних) 39

3.7 Метод січних. 40

Задачі 41

3.8 Метод Ньютона для розв’язання нелінійних систем рівнянь. 41

Задачі 44

3.9 Метод Берстоу для алгебраїчних рівнянь. 45

Задачі 49

3.10 Знаходження комплексних коренів рівняння. 50

Задачі 51

4. РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ. ОБЕРНЕННЯ МАТРИЦЬ. ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ.. 52

4.1 Метод виключення Гаусса. Модифікації, або схеми обчислень. 52

4.2 Метод квадратних коренів. 61

4.3 Уточнення розв’язку системи. 62

4.4 Обчислення визначників і обернення матриць. 63

4.5 Наближені методи розв’язання лінійних систем (метод простої ітерації, метод Зейделя, метод верхньої релаксації) 65

Задачі 72

5..... Розв’язання нелінійних систем.. 74

Задачі 76

6..... СИНГУЛЯРНЕ РОЗКЛАДЕННЯ МАТРИЦІ 77

6.1 Короткі відомості з лінійної алгебри. 77

6.2 Обчислювально стійкий алгоритм для побудови наближеного сингулярного розкладення матриці 80

Відповіді 92

Список рекомендованої літератури. 94

Вступ

Чисельні методи – це інструмент прикладного математика для розв’язання будь-якої практичної задачі шляхом математичного моделювання.

Суть чисельного методу полягає в тому, щоб віднайти число (розв’язок задачі) через арифметичні дії над числами і, відповідно, з використанням потужностей сучасних ЕОМ.

Отриманий чисельним методом розв’язок є зазвичай наближеним, тобто містить деяку похибку. Джерелами похибок є: обмеженість математичної моделі, яка описує реальне явище; похибка вхідних даних; похибка самого обчислювального методу; помилки округлень в діях над числами.

Для розв’язку однієї й тієї ж задачі ви можете застосовувати різні наближені методи. Основні критерії вибору: похибка результату не повинна перевищити задане замовником значення; обчислювальні ресурси, зокрема, ЕОМ, треба використати ефективно.

Інженер може розраховувати на успіх у застосуванні чисельних методів не тільки при умові засвоєння теоретичного матеріалу, але й при наявності практичних навичок. Студентам на цьому шляху слугуватимуть відповідні методичні вказівки.

НАБЛИЖЕНІ ОБЧИСЛЕННЯ

Розрахунки, як правило, здійснюються з наближеними значеннями величин - наближеними числами. Вже початкові дані для розрахунку зазвичай даються з деякими похибками (помилками); в процесі розрахунку накопичуються похибки від округлення, від застосування наближених формул. Нехай, наприклад, вимагається знайти похідну від таблично заданої функції

де - наближене значення для .

З визначення похідної за умови, що близьке до , можна записати таку наближену формулу :

При цьому повна похибка при обчисленні складатиметься з похибки цієї формули (похибка методу), з похибки, що виникає при заміні точних значень і на наближені и , тобто з похибки початкових даних (неусувна похибка), і, нарешті, з похибки округлення при обчисленні за цією формулою.

При проведенні обчислень з наближеними числами часто допускають дві крайнощі: або занадто завищують точність чисел в розрахунках і цим значно збільшують об'єм обчислень, або ведуть обчислення з недостатньою мірою точності, що призводить до помилкового результату. Розумна оцінка похибки при обчисленнях дозволяє вказати оптимальну кількість знаків, які слід зберігати при розрахунках, а також в остаточному результаті.

Похибкою наближеного числа називають різницю (або ) між ним і точним значенням . Похибка зазвичай невідома, під оцінкою похибки наближеного числа розуміють встановлення нерівності виду:

Число називають абсолютною похибкою наближеного числа .

Очевидно, визначається неоднозначно, бажано вказати можливо менше число , що задовольняє вказаній нерівності. Абсолютні похибки записують з двома - трьома значущими цифрами (значущими є всі цифри числа, окрім нулів лівіше першої відмінної від нуля цифри, якщо наближене число - десятковий дріб, і нулів, що стоять в округлених розрядах, якщо наближене число - ціле (задачі №1, ж, з)); округлюють абсолютні похибки у бік збільшення.

ПРИКЛАД 1. Записати з трьома значущими цифрами числа та , визначити похибку, що виникає при цьому.

У цьому прикладі слід узяти . замість , при цьому матимемо . Далі, .

Відносною похибкою наближеного числа називається відношення його абсолютної похибки до абсолютної величини числа , тобто

Відносна похибка зазвичай виражається у відсотках і записується з двома - трьома значущими цифрами. Так, відносні похибки чисел та з прикладу 1 дорівнюють

Відносна похибка наближеного числа пов'язана з кількістю вірних знаків числа.

Цифра наближеного числа називається вірною, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує одиниці того розряду, до якого належить . Очевидно, якщо – вірна цифра, то і усі попередні цифри числа вірні. Зауважимо, що в цьому визначенні іноді вимагають, щоб похибка не перевищувала половини одиниці розряду, до якого належить . Нехай, наприклад, ; ; тоді в цьому числі вірними будуть цифри , і (у сенсі першого і другого визначення, оскільки ).

Вірні значущі цифри називають вірними знаками. Кількість вірних знаків числа відлічується від першої значущої цифри числа до першої значущої цифри його абсолютної похибки. Так, число з абсолютною похибкою має три вірні знаки , і . Інші знаки сумнівні. Сумнівні цифри в остаточних результатах зазвичай підкреслюють.

Під числом вірних десяткових знаків розуміють число вірних цифр після десяткової коми. Нулі, що стоять між десятковою комою і першою вірною цифрою, відмінною від нуля після десяткової коми, також є вірними десятковими знаками. Наприклад, нехай в числах усі цифри вірні, тоді число вірних десяткових знаків в дорівнює шести, в - трьом, число ж вірних знаків дорівнює в чотирьом, в – п’яти.

Термін " n вірних знаків" не слід розуміти буквально, тобто так, що в цьому наближеному числі , що має вірних знаків, перших значущих цифр його співпадають з відповідними цифрами точного числа . Хоча у багатьох випадках це саме так, але, наприклад, наближене число , що замінює точне число , має три вірні знаки, причому усі вони відмінні від цифр числа .

Якщо позитивне наближене число має вірних десяткових знаків (у сенсі другого визначення), то ,

тут - перша значуща цифра числа .

Орієнтовно можна вважати, що наявність тільки одного вірного знаку відповідає відносній похибці, що приблизно дорівнює , у випадку двох вірних знаків - , для трьох вірних знаків - і т.д.

Наближені числа зазвичай записують, зберігаючи в них тільки вірні знаки. Такий запис наближених чисел дозволяє грубо судити про їх похибки і тому не вимагає додаткового виписування похибок. Так, наприклад, наближене число , слід записати у вигляді (або ), щоб показати, що воно має три вірні цифри. Наближене число , має чотири вірні цифри і записується у вигляді .

У математичних таблицях усі числа закруглені до вірних знаків, причому абсолютні похибки не перевищують половини одиниці останнього залишеного розряду.

Результат дій над наближеними числами є також наближеним числом. Його похибку можна оцінити через похибки початкових даних за допомогою наступних трьох теорем.

ТЕОРЕМА 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок доданків, тобто якщо

При цьому, очевидно, якщо серед доданків є одне, абсолютна похибка якого значно перевищує абсолютні похибки інших доданків, то абсолютну похибку суми можна вважати рівною цій найбільшій похибці, і в сумі доцільно зберегти стільки десяткових знаків, скільки їх в доданку з найбільшою абсолютною похибкою.

При великій кількості доданків оцінка абсолютної похибки за формулою (1) виявляється дуже завищеною, оскільки зазвичай відбувається часткова компенсація похибок різних знаків, тому, якщо число доданків , то використовують статистичну оцінку абсолютної похибки суми .

ПРИКЛАД 2. Знайти суму наближених чисел ; ; ; ; ; , вважаючи, що усі виписані знаки вірні.

В даному прикладі найбільшу абсолютну похибку мають два доданки: и . Похибка суми визначатиметься похибками цих доданків, тобто можна вважати, що . Зберігаючи одну запасну цифру (оскільки кількість даних невелика), матимемо .

Після округлення запасної цифри отримуємо ; .

Зауважимо, що підсумовування усіх цих десяткових знаків дає в результаті , так що після округлення сума набуває того ж самого значення.

З теореми 1 для відносної похибки різниці має місце оцінка

причому знак рівності в ній може досягатися. Тому якщо числа і близькі, то відносна похибка їх різниці може виявитися дуже великою, і різниця не міститиме вірних цифр. Нехай, наприклад, ;

тоді різниця і , тобто різниця не містить вірних цифр (втрата точності). Це слід враховувати при побудові обчислювальних алгоритмів: адже велика помилка різниці поширюватиметься в ході подальших обчислень. Тому, по можливості, слід уникати віднімання двох майже рівних чисел. Формули, що містять віднімання двох близьких чисел, часто можна перетворити так, щоб уникнути цієї операції. Наприклад, при обчисленні величини для значень , близьких до нуля, слід скористатися рівністю , а при знаходженні меншого за абсолютною величиною кореня квадратного рівняння , усі коефіцієнти якого позитивні і , більш високу точність має формула

Таким чином, ми бачимо, що вид математичної формули, що використовується в обчисленнях, має значення: математично еквівалентні формули часто виявляються нерівноцінними з точки зору практики обчислень.

ТЕОРЕМА 2. Відносна похибка добутку (частки) не перевищує суми відносних похибок множників (діленого і дільника).

Якщо ж у одного із множників (частку записуватимемо у вигляді добутку ) відносна похибка значно перевищує відносну похибку інших, то відносна похибка результату вважається рівній цій похибці, при цьому в результаті доцільно зберігати стільки значущих цифр, скільки їх в числі з найбільшою відносною похибкою.

При великій кількості множників краще користуватися оцінкою

ПРИКЛАД 3. Обчислити , вважаючи, що усі числа подано з вірними знаками, тобто їх абсолютні похибки не перевищують одиниці молодшого розряду.

Серед множників в даному прикладі найбільшу відносну похибку має число :

Тому можна вважати, що відносна похибка результату також дорівнює 3,1%, тобто в результаті не більше двох вірних знаків. Зберігаючи в проміжних результатах один запасний знак, отримуємо

ТЕОРЕМА 3. Відноснапохибка -того степеня наближеного числа в разів більше відносної похибки основи (як для цілих, так і для дробових ).

Користуючись цими теоремами, можна оцінити похибку результату будь-якої комбінації арифметичних дій над наближеними числами.

Наприклад, для :

Похибка значень функції , аргументи якої задані наближено, може бути оцінена за допомогою диференціала цієї функції. Дійсно, похибка функції - це можливий приріст функції, який вона отримає, якщо її аргументам дати прирости, які дорівнюють їх похибкам. Оскільки похибки бувають, як правило, досить малі, то цілком допустима заміна приростів диференціалами. Отже,

Якщо відомі тільки абсолютні похибки аргументів, то при обчисленні приростів за допомогою диференціалів необхідно для усіх похідних брати їх абсолютні значення і врахувати, крім того, що похибка різниці визначається через суму похибок зменшуваного і від’ємника.

Наприклад, нехай , тоді

;

Аналогічно для

У наближених обчисленнях зустрічаються задачі двоякого роду:

1. Знаючи похибки початкових даних, визначити похибку результату (пряма задача теорії похибок).

2. За заданою похибкою результату визначити, з якою похибкою слід узяти початкові дані (обернена задача). Розглянемо ці задачі на прикладах.

ПРИКЛАД 4. Знайти значення , якщо всі знаки наближених чисел є вірними.

Очевидно, в даному прикладі ,

тому слід узяти з двома знаками:

При цьому абсолютна похибка суми не перевищує , .

Далі, .

Тому , причому результат має три вірні знаки, округлення до вірних знаків дає ; (абсолютна похибка при округленні збільшується).

Обернена задача теорії похибок може бути вирішена таким чином: користуючись приведеними вище теоремами, виводимо формулу для похибки результату, потім за заданою похибкою результату визначаємо допустимі похибки початкових даних. Відмітимо, що розв’язок цієї задачі неоднозначний і вимагає додаткових припущень.

ПРИКЛАД 5. Сторона квадрата приблизно дорівнює 1 м. З якою точністю її потрібно виміряти, щоб похибка площі була не більше 1 см²?

Нехай - сторона квадрата, - похибка її вимірювання, тоді ,

і похибка вимірювання площі з точністю до величини першого порядку малості відносно дорівнює тобто

Отже, шукана похибка см.

ПРИКЛАД 6. З якою точністю слід визначити радіус основи і висоту циліндричної банки, щоб її місткість можна було б визначити з точністю до ?

Оскільки число можна узяти з будь-яким числом вірних знаків, то можна вважати, що відносна похибка величини дорівнює (теорема 2); за умовою, . Якщо і можна визначити з будь-якою мірою точності, то можна, наприклад, вважати і (принцип рівних впливів). Отже, радіус можна визначити з відносною похибкою , а висоту - з відносною похибкою .

Число слід брати з відносною похибкою , щоб його похибку можна було не враховувати в остаточному результаті. Можна покласти , в цьому випадку (значення числа відповідає , що для нашого прикладу неприпустимо).

ПРИКЛАД 7. Знайти допустиму абсолютну похибку наближених величин та , для яких можливо знайти значення функції з точністю до двох десяткових знаків.

Оскільки

то можна взяти, наприклад, (принцип рівних впливів).

Далі, знаходимо

Отже, шукані похибки

Треба зазначити, що оцінки похибок при діях з наближеними числами є, як правило, завищеними, оскільки вкрай рідко буває, що похибки в усіх операціях посилюють одна одну, зазвичай відбувається часткова компенсація похибок різних знаків.

При проведенні невеликих за об'ємом обчислень похибку кожного результату зазвичай не враховують, а користуються правилом підрахунку цифр, які сформульовані В. М. Брадисом.

Правила підрахунку цифр показують, як слід проводити округлення проміжних результатів, щоб, по-перше, отримати остаточний результат з тією точністю, яку забезпечують початкові дані, і, по-друге, не обчислювати і не виписувати (!) зайвих (що не підвищують точність) цифр, як в проміжних, так і в остаточному результатах. Ці правила не дають оцінки похибки результату, а лише забезпечують високу вірогідність того, що похибка результату приблизно така, яку забезпечують початкові дані.

1. При додаванні-відніманні наближених чисел в результаті слід зберігати стільки десяткових знаків, скільки їх в наближеному даному з найменшим числом десяткових знаків.

2. При множенні-діленні в результаті слід зберігати стільки значущих цифр, скільки їх в наближеному даному з найменшим числом значущих цифр.

3. При піднесенні наближеного числа до степеня , , в результаті слід зберігати стільки значущих цифр, скільки їх в основі степеня.

4. При обчисленні проміжних результатів слід зберігати на одну-дві цифри більше, ніж рекомендують правила 1 – 3 (для зменшення накопичення похибки округлення). В остаточному результаті запасна (сумнівна) цифра відкидається або підкреслюється.

5. Якщо деякі дані мають більше десяткових знаків (при додаванні-відніманні) або більше значущих цифр (при інших діях), ніж інші, то їх заздалегідь слід округлювати, зберігши лише одну запасну цифру.

6. При обчисленні за допомогою логарифмів одночленного виразу рекомендується підрахувати число значущих цифр в наближеному даному, що має найменше число значущих цифр, і скористатися таблицею логарифмів з числом десяткових знаків на одиницю більшим. В остаточному результаті остання значуща цифра відкидається.

7. Якщо дані можна брати з довільною точністю, то для отримання результату з вірними цифрами початкові дані слід брати з таким числом цифр, які згідно з попередніми правилами забезпечують цифру в результаті.

Наведені вище правила Брадиса складені з припущенням, що компоненти дій містять тільки вірні цифри і кількість дій невелика.

Для дослідження сумарного впливу помилок округлення у сучасних масових обчисленнях, і, отже, для дослідження стійкості (нестійкості) обчислювальних алгоритмів по відношенню до помилок округлення використовують прямий і зворотній аналіз помилок округлення.

Ідея прямого аналізу помилок полягає в наступному. Позначимо через початкові дані задачі, через – результат їх обробки за деяким точним алгоритмом , тобто . При цьому вважається, що алгоритм містить лише такі операції, які є в списках команд ЕОМ. При реалізації цього алгоритму на ЕОМ отримаємо , де - реализація алгоритму на ЕОМ. Різниця є помилка обчислення на ЕОМ величини . Вводячи на множині рішень і множині початкових даних відповідним чином метрику і використовуючи властивості операторів і можна отримати кількісну оцінку помилки обчисленого розв’язку задачі.

Істотний прогрес в дослідженні стійкості чисельних алгоритмів стався з виникненням зворотнього аналізу помилок. При зворотньому аналізі помилок реально обчислене рішення розглядається як результат обробки деяких збурених вхідних даних за точним алгоритмом , тобто . При цьому збурення вибирається так, щоб його дія виявилася еквівалентною сукупному впливу усіх помилок округлення (еквівалентне збурення). При зворотньому аналізі оцінку помилки у багатьох задачах отримати легше, ніж при прямому, хоча навіть для найпростіших алгоритмів дослідження

еквівалентних збурень є, як правило, важкою і стомливою роботою, що вимагає дуже тонких викладень.

З обчислювальної практики виникло декілька методів для встановлення наявності помилок і для оцінки величини помилок: подвійна точність, змінна точність, область відповіді, рахунок зі значущими розрядами, статистичний підхід. Найпоширенішим машинним методом оцінки похибок є розв’язання задачі із звичайною і подвійною точністю. Прийнято вірити , що співпадаючі в двох відповідях розряди є вірними. Зазвичай двічі (із звичайною і подвійною точністю) проводять тільки найбільш типові і важливі обчислення при рішенні задачі, вважаючи, що і в інших обчисленнях вірною є та ж сама кількість розрядів.

При побудові обчислювальних алгоритмів слід уникати, як вже відзначалося, віднімання близьких чисел. При обчисленні виразів виду

віднімання слід виконувати до множення або ділення, це особливо важливо, якщо близькі. Далі, при додаванні-відніманні довгої послідовності чисел потрібно починати працювати з найменшими за абсолютною величиною. В усіх ситуаціях слід зводити до мінімуму кількість арифметичних дій.

Задачі

1. Визначити кількість вірних знаків в числі x, якщо відома його абсолютна похибка.

а) .

б) .

в) .

г) .

д) .

е) .

ж) .

з) .

2. Визначити кількість вірних знаків в числі x, якщо відома його відносна похибка.

а) .

б) .

в) .

г) .

д) .

3. Визначити кількість вірних знаків різниці де

; ; .

4. Кожне ребро куба, виміряне з точністю до см, виявилося рівним см. Знайти .

5. Висота Н і радіус R основи циліндра виміряні з точністю . Знайти .

6. Кут виміряно з точністю до . Визначити і його абсолютну похибку.

7. Обчислити значення функції , якщо ; ; ; ; ; .

8. Об'єм куба см³ (з точністю до см³). Визначити довжину ребра куба і точність отриманої відповіді.

9. З яким числом вірних знаків має бути вільний член рівняння , щоб отримати корені з чотирма вірними знаками?

10. З яким числом вірних знаків слід узяти значення аргументу , щоб обчислити значення функції з точністю ?

11. Нехай . Обчислити значення при . У відповіді зберегти вірні цифри. Визначити відносну похибку .

12. Знайти значення виразу , вважаючи та , за однією з наступних формул, що забезпечує найбільшу точність результату:

Знайти і

ОБЧИСЛЕННЯ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ

Схема Горнера

Як уже стверджувалось, від того, в якому вигляді представлена та або інша формула, часто залежить точність і об'єм обчислень. Зокрема, доведено, що для обчислення значень многочлена загального вигляду найбільш економічною в сенсі числа операцій є схема Горнера. Розглянемо її. Нехай дано многочлен -го степеня

з дійсними коефіцієнтами , і нехай вимагається знайти значення цього многочлена при , тобто треба знайти

Має місце тотожність

де - частка, а - залишок при діленні на .

При цьому легко бачити, що

(2)

Формули (2) дозволяють, не роблячи ділення, за допомогою повторення елементарних операцій (додавання і множення) визначити коефіцієнти частки, а також - значення многочлена при . Обчислення значення многочлена за схемою Горнера вимагає виконання множень та додавань, де - кількість коефіцієнтів, які дорівнюють нулю. Якщо , то потрібно виконати множень.