Відображення(потрібен чи не потрібен абзац?) , яке кожному комплексному числу (потрібно чи ні ставити скобки в D) ставити у відповідність деяке комплексне число , називається функцією комплексної змінної і записується так: .
Функція комплексної змінної може бути многозначною. В деякому випадку при відображенні кожному комплексному числу відповідає не одне, а декілька значень комплексної змінної . Нехай , . Тоді залежність між комплексними змінними і рівносильна двом залежностям дійсних функцій і від дійсних змінних і : і .(може бути не зв’язка в методичці)
До основних елементарних функцій комплексної змінної відносяться:
1. Дробово-раціональна функція:
, (як я це зрозумів з методички)
2. Експоненціальна показникові функція:
При цьому і () (кома пісня двійки),
тобто функція - періодична,
3. Тригонометричні функції:
;
;
Ці функції періодичні з періодом . При цьому має місце формула Ейлера: .
4. Гіперболічні функції:
5. Логарифмічна функція , , визначається, як функція, зворотня до показникової: ().
Ця функція багатозначна.
- головне значення (при ). При цьому:
().
6. Зворотні тригонометричні функції , , , .
Всі ці функції багатозначні і визначаються через логарифм за формулами:
(не зрозуміло про логарифм, де він стоїть).
7. Зворотні гіперболічні функції , , , , визначаються за формулами:
,
,
,
.
Приклади:
Обчислити:
1) ; 2) ; 3)
Розв’язки:
1) З формули маємо
2) З формули , .
Маємо
3) .
Розв’язати рівняння ,
Маємо:
;