2018-02-13
1606
Функцией-оригиналом называется любая комплексная функция 
действительного переменного tудовлетворяющая следующим условиям.
1) Функция 
удовлетворяет условиям Гельдера всюду на оси tкроме отдельных точек, где она имеет разрывы первого порядка, причем на каждом конечном интервала таких точек конечное число, это означает что для 
кроме точек разрыва 
такие что 
(1) 
2) 
3) Существуют такие постоянные 
(2)
Определение
Нижняя грань Sпри которой неравенство (2) выполняется с некоторыми постоянными 
.
Замечание
Из определения следует что 
то 
такая что 
| 
Определение
Изображение функции-оригинала 
(по Лапласу) называется функция 
комплексного переменного 
определённая равенством 
Здесь само преобразование 
называется преобразованием Лапласа. Функция имеет своим изображением функцию записывают 
или 
Теорема
Для всякого оригинала изображение определено в полуплоскости 
где 
- показатель роста функции 
И является в этой плоскости голоморфной функцией при этом 
(4)
|
|
|
Док-во
Пусть 
имеем 
| 
= 
(5); 
Интеграл (3) сходится абсолютно в полуплоскости и определена функция докажем ее голоморфность в этой полуплоскости. Фиксируем 
положим 
= - 
(6) оценим 
Отсюда и из (6) получим 
Обращения преобразования Лапласа. Достаточные условия существования оригинала.
Теорема
Если функция является оригиналом а ее изображением то 
удовлетворяет условиям Гельдера справедливо равенство 
где интеграл берётся по любой прямой 
и понимается в смысле главного значения.
Док-во
Рассмотрим интеграл 
Осталось показать что I(b)= 
I(b)= 
здесь 2 и 3 слагаемые сходящиеся интегралы поэтому 
что каждый из этих интегралов по модулю меньше 
(по Лемме Римана первое слагаемое 
, итак 
Следствие (Теорема единственности)
Оригинал 
восстанавливается по своему изображению однозначно во всех точках, удовлетворяющих условию Гельдера, значение оригинала в точках разрыва не влияют на изображение.
Теорема (достаточные условия существования оригинала)
Пусть функция 
пусть при 
абсолютно сходится, тогда является отображением функции . (без док-ва)
