Дифференциальные уравнения первого порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называются дифференциальными.

Общий вид дифференциальных уравнений: F (x,y,y’,y’’..y’’’) = 0

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

 

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

 

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием.

 

 

Дифференциальные уравнения первого порядка

 

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F (x, y, y ')=0, где F — известная функция трех переменных, x — независимая переменная, y (x) — искомая функция, y '(x) — ее производная. Если уравнение F (x, y, y ')=0 можно разрешить относительно y ', то его записывают в виде y '= f (x, y)

 

Уравнение y '= f (x, y) устанавливает связь между координатами точки (x, y) и угловым коэффициентом y ' касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.

 

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

                      P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0,

Где P(x;y) и Q(x;y) – известные функции. Уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 удобно тем, что переменные в нем равноправны, т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой.

 

Если дифференциальное уравнение первого порядка y '= f (x, y), имеет решение, то решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде y=φ (x,C), где C — произвольная константа.

Функция  y=φ (x,C) называется общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Она содержит одну произвольную постоянную и удовлетворяет условиям:

1. Функция  y=φ (x,C) является решением ДУ при каждом фиксированном значении С.

2. Каково бы ни было начальное условие y(x₀) = y₀, можно найти такое значение постоянной С=С₀, что функция  y=φ (x,C ₀) удовлетворяет данному начальному условию.

 

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция y=φ (x,C ₀), полученная из общего решения y=φ (x,C) при конкретном значении постоянной С=С₀.

Задача отысканиярешения ДУ первого порядка P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0, удовлетворяющего заданному начальному условию y(x₀) = y₀ , называется задачей Коши.

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши).

 

Если в уравнении y '= f (x, y) функция f (x, y) и ее частная производная f'_y (x, y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x₀ ; y₀ ), то существкет единственное решение   y=φ (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀ . (без доказательства)

Уравнения с разделяющимися переменными

 

Наиболее простым ДУ первого порядка является уравнение вида

                                 P(x)dx+Q(y)dy=0.

В нем одно слагаемое зависит только от x, а другое - от y. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

∫ P(x)dx+∫Q(y)dy=с – его общий интеграл.

 

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид:

                                  P₁(x) ^. Q₁(y) ^. dx+ P₂(x) ^. Q₂(y) ^. dy=0.

Особенность этого уравнения в том, что коэффициенты представляют собой произведения двух функций, одна из которых зависит только от х другая – только от у.

Уравнение P₁(x) ^. Q₁(y) ^. dx+ P₂(x) ^. Q₂(y) ^. dy=0 легко сводится к уравнению    P(x)dx+Q(y)dy=0. путем почленного деления его на Q₁(y) ^. P₂(x)≠0. Получаем:

, - общий интеграл.