Метод Лагранжа(метод вариации произвольной постоянной)

Уравнение y’+p(x) y=g(x) интегрируется следующим образом.

Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т.е. уравнение y’+p(x) y=0. Оно называется линейным однородным ДУ первого порядка. В этом уравнении переменные делятся:

 и .

Таким образом, , т.е.

или , где с=

 

Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную С в полученном решении заменяем функцией с(х), т.е. полагаем с=с(х).

Решение уравнения y’+p(x) y=g(x) ищем в виде

                                   

 

Уравнение Я.Бернулли

Уравнение вида

называется уравнением Бернулли. Покажем, что его можно привести к линейному.

Если n=0, то ДУ  - линейное, а при n=1 – с разделяющимися переменными.

В общем случае, разделив уравнение на , получим:

.

Обозначим =z. Тогда z’= =(1-n) . Отсюда находим = . Уравнение принимает вид

.

 

Последнее уравнение является линейным относительно z. Решение его известно. Таким образом, подстановка

z=  сводит уравнение  к линейному.

 

 

Уравнение в полных дифференциалах.

 

 

Уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x;y), т.е. P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y).

В этом случае ДУ P(x;y)dx+Q(x;y)dy можно записать в виде du(x;y)=0, а его общий интеграл будет:

                             u(x;y)=c.

 

Приведем условие, по которому можно судить, что выражение

Δ= P(x;y)dx+Q(x;y)dy

Есть полный дифференциал.

 

Теорема.

 

Для того, чтобы выражение Δ = P(x;y)dx+Q(x;y)dy, где функции P(x;y) и Q(x;y) и их частные производные и  непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия

 

                                                         =

 

Необходимость

 

Пусть Δ есть полный дифференциал, т.е. P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y).

Учитывая, что du(x;y)= dx+ dy, имеем:

P(x;y)= ; Q(x;y)= .

 Дифференцируя эти равенства по у и по х соответственно, получаем

=  и = .

А так как смешанные частные производные  и  равны между собой, получаем                                        = .

 

Достаточность

 

Пусть в области D выполняется условие  = . Покажем, что существует функция u(x;y) в области D такая, что

 du(x;y)=P(x;y)dx+Q(x;y)dy.

Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требованиям:

= P(x;y) и = Q(x;y).

Если в уравнении = P(x;y) зафиксировать у и проинтегрировать его по х, то получим:

u(x;y)= .

Здесь произвольная постоянная с= зависит от у. В решении

u(x;y)= не известна лишь . Для ее нахождения продифференцируем данную функцию по у:

.

Используя второе равенство = Q(x;y), можно записать:

.

Отсюда .

В этом равенстве левая часть зависит от у. Покажем, что и правая часть равенства зависит только от у.

Для этого продифференцируем правую часть по х и убедимся, что производная равна 0. Действительно,

= =

=  в силу условия  = .

Из равенства  находим :

, с-const.

Подставляя найденное значение для  в равенство u(x;y)= , находим функцию u(x;y) такую, что du(x;y)=P(x;y)dx+Q(x;y)dy.

Таким образом, при решении ДУ вида P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 сначала проверяем выполнение условия  = . Затем, используя равенства = P(x;y) и = Q(x;y), находим функцию u(x;y). Решение записываем в виде u(x;y)=с.