Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида:  , где p и g – числа(*)

Определение: Уравнение - называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (*) – обычное квадратное уравнение, решение которого зависит от D, возможны следующие случаи:

1)D>0  - два действительных различных решения.

2)D=0  - один действительный корень кратности 2.

3)D<0 - два комплексно сопряжённых корня.

Для каждого из этих случаев укажем фундаментальную систему решений, составленную из 2 функций и .

Будем показывать что:

1) и - ЛНЗ

2) и - решение (*)

Рассмотрим 1 случай D>0  - 2 действительных различных корня.

Характеристическое уравнение:

В качестве ФСР возьмём:

а) покажем ЛНЗ

б) покажем, что  - решение (*), подставим

+ p +g =0

верное равенство решение (*)

аналогично показывается для y₂.

Вывод: - ФСР (*) общее решение

 

Рассмотрим 2случай: D=0  - 1 действительный корень кратности 2.

В качестве ФСР возьмём:

ЛНЗ: ЛНЗ есть.

- решение уравнения (см. 1 случай). Покажем что - решение.

 

подставим в ДУ

 - решение.

Вывод: ФСР

Пример:

3 случай: D<0 - 2 комплексно сопряжённых корня.

подставим  в характ. уравнение

комплексное число равно 0, когда действительная и мнимая часть равны 0.

 - будем использовать.

Покажем, что - образуют ФСР.

А)ЛНЗ:

Б)  - решение ДУ

верное равенство - решение ДУ.

Аналогично показывается, что тоже решение.

Вывод: ФСР:

Общее решение:

Пример:

Если заданы н.у.

- то сначала находят общее решение , его производную: , а потом в эту систему подставляют н.у и находят и .

Пример:

Н.у: