Отражение и преломление света на сферической поверхности раздела сред

На рисунке след  сферической поверхности раздела двух сред с абсолютными показателями . Радиус сферической поверхности , центр сферической поверхности – точка . Проведем через центр  прямую, совпадающую по направлению с радиусом. Эта прямая пересекает сферическую поверхность в точке .

Прямая, проходящая через точки  называется осью системы.

Пусть на оси в точке  находится точечный источник света. Будем рассматривать только такие лучи, исходящие из точки , которые образуют с осью системы малые углы. Такие лучи называют приосевыми или

Введем прямоугольную систему координат с центром в точке . Лучи распространяются слева направо.

Расстояния, отсчитываемые от точки  вправо, считаются положительными, а отсчитываемые влево – отрицательными.

Вертикальные отрезки, отсчитываемые вверх, считаются положительными, отсчитываемые вниз – отрицательными.

Углы, отсчитываемые от прямой  будут положительными, если их тангенсы и синусы положительные и углы принимаются отрицательными, если их тангенсы и синусы отрицательные.

Если углы отсчитываются от нормали к сферической поверхности, не совпадающей с осью системы , то угол между лучом и нормалью считается положительным, если поворот луча к нормали по кратчайшему пути происходит против часовой стрелки и отрицательными, если поворот происходит по часовой стрелке.

Радиус кривизны сферической поверхности отсчитывается от начала координат и считается положительным, если центр кривизны лежит справа от начала координат и отрицательным, если находится слева.

Выпуклая (по ходу луча) поверхность имеет положительный радиус, вогнутая – отрицательный радиус.

Рассмотрим два луча, падающие на поверхность : один вдоль оси , второй – образующий малый угол  с осью .

Обозначим:  - угол падения

                 - угол преломления.

Запишем:

,

,

,

.

Обозначим точку пересечения лучей во второй среде .

Из рисунка:

,

,

,

,

,

,

.

Обозначим:

,

.

С учетом малости всех углов для параксиальных лучей запишем.

,

,

,

,

.

Выражение  называется инвариантом Аббе.

Преобразуем

.

Оптической силой сферической поверхности называется величина

,

Соотношение  позволяет найти длину , если известно значение , т.е. позволяет отыскать положение точки .

Из формулы видно, что  будет зависеть только от  при заданных параметрах системы .

Следовательно, все лучи параксиального гомоцентрического пучка, выходящего из точки  пресекают ось в одной и той же точке , которая является стигматическим изображением источника .

Необходимым условием сохранения гомоцентричности пучка является условие параксиальности.

Если изображение получается при пересечении преломленных лучей, то оно называется действительным. Если же лучи оказываются расходящимися и не пересекаются, то изображением называется воображаемая точка, в которой пересекаются продолжение преломленных лучей. Такое изображение называется мнимым.