Под относительным покоем понимается такое состояние, при котором в движущейся жидкости отдельные частицы не смещаются одна относительно другой. При этом жидкость перемещается как твердое тело. Само движение жидкости в этом случае можно назвать переносным движением. Для этого состояния характерно постоянство формы объема жидкости. Очевидно, что рассматриваемая масса жидкости будет неподвижна в координатной системе, связанной с движущимся резервуаром.
На жидкость, находящуюся в относительном покое, действуют массовые силы (силы тяжести и силы инерции переносного движения), а из поверхностных – силы давления.
Рассмотрим частный случай относительного покоя: покой при переносном вращательном движении вокруг вертикальной оси.
В этом случае на жидкость действуют силы давления, силы тяжести и силы инерции переносного вращательного движения, а ускорения массовых сил будут равны:
. (5.12)
Дифференциальное уравнение (5.5) примет вид:
|
|
(5.13)
После интегрирования, с учетом, что , получим:
. (5.14)
Рис. 5.8
Уравнение (5.14) является уравнением параболоида вращения, а поверхности равного давления образуют семейство параболоидов вращения, сдвинутых вдоль вертикальной оси. Каждый параболоид характеризуется некоторым значением постоянной С. Для параболоида свободной поверхности принимаем, что при (рис. 5.8) ,
поэтому . Тогда уравнение свободной поверхности примет вид:
, (5.15)
или
(5.16)
Закон распределения давления по объему жидкости получим из уравнения (5.4), подставив в него соответствующие значения X, Y и Z. После интегрирования получаем:
. (5.17)
Постоянную интегрирования определим из условия, что при и , т.е. . После подстановки в (5.17) окончательно имеем:
(5.18)
Для частиц жидкости, расположенных на одной вертикали, можем записать:
(5.19)
|
|
где
, (5.20)
т.е. имеет место обычный гидростатический закон распределения давления.
Пример 5.6.
Цилиндрический сосуд радиусом R 1 наполнен жидкостью плотностью до уровня a в открытой трубке малого диаметра, установленной на крышке сосуда на расстоянии R 2 от центра, и приведен в равномерное вращение относительно центральной вертикальной оси (рис. 5.9). Определить угловую скорость вращения сосуда, при которой избыточное давление под крышкой в центре сосуда будет равно 0.
Рис. 5.9
Решение:
Используя уравнение (5.18) найдем закон распределения избыточного давления в жидкости, заполняющей сосуд, учитывая, что
– находим, используя граничное условие: при и
откуда . Подставляя получим искомый закон распределения давления
.
Для точек на поверхности крышки имеем
.
Искомую угловую скорость вращения определяем из условия при
,
откуда
.