2018-02-14
418
Пусть маленькое тело колеблется на взаимно-перпендикулярных пружинках одинаковой жесткости. По какой траектории будет двигаться это тело?
| 
Это уравнения траектории в параметрическом виде.
Для получения явной зависимости между координатами x и y надо из уравнений исключить параметр t.
|
Из первого уравнения:
; 
.
Из второго:
.
После подстановки: 
.
Избавимся от корня:
.
| - это уравнение эллипса. |
Частные случаи:
1. 
2. 
3. 
Затухающие колебания
Рассмотрим колебания, происходящие в двух системах:
а) колебания заряда в колебательном контуре L,C, имеющем активное сопротивление R;
б) колебание грузика, прикрепленного к пружинке, учтем влияние трения на движение грузика.
Колеблющиеся системы
| 
|
| 14.4.2. Законы движения | |
| Закон Ома для неоднородного участка цепи (10.7): | Второй закон Ньютона (4.6): |
| 
|
|
| |
 
|  
|
| Или, используя другое обозначение производной: | |
| 
|
| 14.4.4. Введем обозначения: | |
| 
|
Дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания наших двух систем в этих обозначениях будет иметь один и тот же вид
.
Решение
Каким будет его решение? При 
(отсутствие сопротивления, трения) оно должно переходить в 
(см. 14.2).
Наличие затухания, потерь энергии, переход ее из электромагнитной или механической в тепловую приведет к уменьшению амплитуды колебаний с течением времени, станет другой, меньшей чем ω0, и частота колебаний.
Предположим, что амплитуда убывает по экспоненциальному закону,
т.е. A(t) = A0·e-βt (e=2,71828...),
тогда решение будем искать в виде:
.
Проверка
Выясним, при каких условиях эта функция будет решением, для этого найдем 
и подставим в дифференциальное уравнение.
Сгруппируем члены с косинусом и синусом, на A0e-βt сократим:
.
Для тождественного обращения левой части в ноль надо, что бы коэффициент при косинусе обращался в ноль (коэффициент при синусе обратился в ноль, т.к. мы "удачно" выбрали A(t) = A0-βt). Из этого требования следует выражение для - ω частоты затухающих колебаний.
