Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью (рис 2.9) и сообщим ему вращение с постоянной угловой скоростью ω вокруг его вертикальной оси.
Рис.2.8.Схема вращения жидкости вместе с сосудом
Жидкость постепенно приобретает ту же угловую скорость, что и сосуд, а ее свободная поверхность станет криволинейной в виде некоторой поверхности вращения.
На жидкость в этом случае действуют две массовые силы - сила тяжести G = mg и центробежная сила Rц = mω2r.
Проекции вектора плотности распределения массовых сил будут:
- от силы тяжести и ;
- от центробежной силы ; и ,
где х и у - горизонтальные координаты вокруг вертикальной оси произвольно выбранной точки жидкости.
На свободную поверхность действует гидростатическое давление ро от поверхностных сил. Определим вначале форму поверхностей уровня (поверхностей равного давления). Используем уравнение поверхности равного давления (2.20)
,
подставляя соответствующие проекции массовых сил получим
,
т.е. .
После интегрирования получим
(2.25)
или имея в виду
. (2.25)
Из этого уравнения видно, что поверхности уровня в рассматриваемом случае представляют собой семейство конгруэнтных (совмещающихся при наложении) параболоидов вращения с вертикальной осью.
Свободная поверхность также является поверхностью уровня, во всех точках которой давление равно внешнему давлению ро. Найдем значение постоянной С для параболоида свободной поверхности. Координаты вершины параболоида xо = 0; yо = 0; zо= h. Подставив эти координаты в уравнение (2.25), получим Со = - gh и уравнение свободной поверхности
. (2.26)
Ордината h вершины параболоида свободной поверхности при заданной угловой скорости зависит от объема жидкости в сосуде. Если до вращения сосуда уровень жидкости устанавливался на высоте Нн, то объем жидкости равнялся ωRc2Нн.
При вращении сосуда форма объема жидкости изменяется, а его величина при ω = соnst остается неизменной
. (2.27)
После интегрирования имеем
. (2.28)
Закон распределения давлений найдем, используя дифференциальное уравнение равновесия жидкости (2.19), подставив в него проекции плотности распределения массовых сил
. (2.29)
После интегрирования имеем
. (2.30)
Постоянную интегрирования С находим, введя координаты вершины параболоида свободной поверхности г = 0, z = h и давление р = ро в уравнение (2.30)
. (2.31)
Подставив найденное значение С в уравнение (2.30), получим
. (2.32)
Поверхности равных давлений представляют собой параболоиды вращения конгруэнтные параболоиду свободной поверхности.