Определение порядка интегрируемости для ряда с данными об инфляции

Содержание

Содержание. 1

1. Исходные данные. 2

2. Определение порядка интегрируемости. 2

2.1. Определение порядка интегрируемости для ряда с данными об инфляции. 2

2.2. Определение порядка интегрируемости для ряда с данными о процентной ставке. 2

3. Построение модели ARIMA для ряда с данными об инфляции. 2

3.1. Построение прогноза. 2

4. GARCH эффект. 2

5. Тест на коинтеграцию по методологии Engle-Granger’a. 2

6. Тест Granger’a на причинность. 2

8. Модель VAR / VECM. Тест Granger’a на причинность. 2

8.1. Построение VAR.. 2

8.2. Проверка на наличие коинтеграции в VAR.. 2

8.3. Построение VECM... 2

8.4. Тест Granger’a. 2

 
1. Исходные данные

Даны два ряда: показатели инфляции и процентной ставки в Германии с 1960 по 2005 год. Данные ежегодные, указаны на сайте http://www.fgn.unisg.ch/eurmacro/macrodata/datamtrx.html. Рассмотрим совместный график этих двух рядов:

 

 

Из графика можно видеть, что ряды изменяются похожим образом, из чего можно сделать вывод о том, что между ними может быть коинтеграция.

 

Определение порядка интегрируемости

Для определения порядка интегрируемости проведем расширенный тест Дики-Фулера для каждого из рядов.

Определение порядка интегрируемости для ряда с данными об инфляции

Процедура определения порядка интегрируемости состоит из нескольких шагов.

Шаг 1

Оценим уравнение d(inf) c tr inf(-1).

 

Dependent Variable: D(INF)
Method: Least Squares
Date: 05/19/07 Time: 13:04
Sample(adjusted): 1961 2005
Included observations: 45 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	121.3967	51.85311	2.341166	0.0240
TR	-1.919613	1.349999	-1.421937	0.1624
INF(-1)	-0.259627	0.098029	-2.648461	0.0113
R-squared	0.148132	Mean dependent var		0.800000
Adjusted R-squared	0.107567	S.D. dependent var		116.7886
S.E. of regression	110.3286	Akaike info criterion		12.30914
Sum squared resid	511240.9	Schwarz criterion		12.42959
Log likelihood	-273.9557	F-statistic		3.651715
Durbin-Watson stat	1.547155	Prob(F-statistic)		0.034500

 

Проверим данную регрессию на наличие автокорреляции с помощью встроенного теста Бреуша-Годфри. При вызове этого теста программа спрашивает, сколько лагов необходимо включить. Сейчас и в дальнейшем если отдельно не оговорено будем включать один лаг, так как данные ежегодные*.

 

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	3.835438	Probability		0.057007
Obs*R-squared	3.849515	Probability		0.049760
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 05/19/07 Time: 13:06
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	62.43069	59.45512	1.050047	0.2998
TR	-0.762536	1.363394	-0.559293	0.5790
INF(-1)	-0.153246	0.122984	-1.246068	0.2198
RESID(-1)	0.379420	0.193737	1.958427	0.0570
R-squared	0.085545	Mean dependent var		1.26E-14
Adjusted R-squared	0.018633	S.D. dependent var		107.7920
S.E. of regression	106.7830	Akaike info criterion		12.26416
Sum squared resid	467506.9	Schwarz criterion		12.42475
Log likelihood	-271.9436	F-statistic		1.278479
Durbin-Watson stat	1.984889	Prob(F-statistic)		0.294478

 

В данном случае Prob=0,057, то есть, можно сказать, что на 5% уровне значимости автокорреляции нет.

 

Шаг 2

Проверим гипотезу о том, что тренда нет, а единичный корень есть.

Н0: (μ, β, ρ) = (μ, 0, 0)

Н1: (μ, β, ρ) ≠ (μ, 0, 0)

Данную гипотезу будем проверять с помощью теста Вальда о коэффициентах. То есть проверим, что с(2)=с(3)=0.

 

Wald Test:
Equation: INF_PORYADOK
Null Hypothesis:	C(2)=0
	C(3)=0
F-statistic	3.651715		Probability	0.034500
Chi-square	7.303431		Probability	0.025947

 

Для проверки данной гипотезы нельзя использовать стандартное распределение, поэтому на prob смотреть не будем, а будем пользоваться специальной статистикой Ф3, которая для данной регрессии составляет 6,73 (так как уровень значимости 5% и количество наблюдений 44).

 

 

 

Таким образом, 3,65<6,73, то есть нулевая гипотеза не отвергается.

Шаг 5

Так как не отвергается гипотеза о том, что (μ, β, ρ) = (μ, 0, 0), мы можем сказать, что существует единичный корень без тренда, но с возможным дрейфом. Можем убедиться, что ρ = 0. Для этого проверим следующую гипотезу:

Н0: ρ = 0

Н1: ρ ≠ 0

Так как тренда нет, нужно использовать нестандартную статистику τ.

Проверим с помощью теста Вальда, что с(3)=0

 

Wald Test:
Equation: Untitled
Null Hypothesis:	C(3)=0
F-statistic	7.014345		Probability	0.011342
Chi-square	7.014345		Probability	0.008086

 

 

 

 

Таким образом, -2,93<7,01, то есть нулевая гипотеза не отвергается.

 

Шаг 6

Мы знаем, что (β, ρ) = (0, 0). Далее нужно определить, является ли данный процесс случайным блужданием с дрейфом или без. Для этого проверим гипотезу:

Н0: (μ, β, ρ) = (0, 0, 0)

Н1: (μ, β, ρ) ≠ (0, 0, 0)

С помощью теста Вальда проверим, что с(1)=с(2)=с(3)=0.

 

Wald Test:
Equation: INF_PORYADOK
Null Hypothesis:	C(1)=0
	C(2)=0
	C(3)=0
F-statistic	2.435266		Probability	0.078070
Chi-square	7.305797		Probability	0.062764

 

Для проверки используем специальное распределение Ф2. Так как число наблюдений 44, и уровень значимости 5%, то Ф2=5,13

 

 

 

 

Таким образом, 2,43<5,13, то есть нулевая гипотеза не отвергается, таким образом, данный ряд является случайным блужданием без дрейфа.

 

Шаг 7

Можно подтвердить результаты, о том, что данный ряд это случайное блуждание без дрейфа, проверив гипотезу о том, что (μ, ρ) = (0,0) для уравнения d(inf) c inf(-1). Оценим это уравнение:

 

Dependent Variable: D(INF)
Method: Least Squares
Date: 05/19/07 Time: 14:33
Sample(adjusted): 1961 2005
Included observations: 45 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	63.02613	32.05446	1.966221	0.0558
INF(-1)	-0.211334	0.093044	-2.271326	0.0282
R-squared	0.107123	Mean dependent var		0.800000
Adjusted R-squared	0.086358	S.D. dependent var		116.7886
S.E. of regression	111.6319	Akaike info criterion		12.31172
Sum squared resid	535852.3	Schwarz criterion		12.39201
Log likelihood	-275.0136	F-statistic		5.158924
Durbin-Watson stat	1.542612	Prob(F-statistic)		0.028190

 

Проверим наличие автокорреляции:

 

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	3.625393	Probability	0.063770
Obs*R-squared	3.575699	Probability	0.058631

 

На 5% уровне значимости автокорреляции нет.

Проверим гипотезу

Н0: (μ, ρ) = (0, 0)

Н1: (μ, ρ) ≠ (0, 0)

Проверим с(1)=с(2)=0 с помощью теста Вальда.

 

Wald Test:
Equation: INF_PORYADOK
Null Hypothesis:	C(1)=0
	C(2)=0
F-statistic	2.580617		Probability	0.087412
Chi-square	5.161235		Probability	0.075727

 

Для проверки используем специальное распределение Ф1. Число наблюдение 44, уровень значимости 5%, то есть Ф1=4,86.

 

 

 

 

Таким образом, 2,58<4,86, то есть нулевая гипотеза не отвергается, таким образом, данный ряд является случайным блужданием без дрейфа.

 

То есть по результатам расширенного теста Дики-Фулера можно сказать, что ряд inf не стационарен и является, по крайней мере, первого порядка интегрируемости, то есть I(1).

Проведем расширенный тест Дики-Фулера для первой разности этого ряда.

 

Шаг 1

Оценим уравнение d(dinf) c dinf(-1), где dinf=d(inf).

 

Dependent Variable: D(DINF)
Method: Least Squares
Date: 05/19/07 Time: 14:42
Sample(adjusted): 1962 2005
Included observations: 44 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-0.914340	17.76357	-0.051473	0.9592
DINF(-1)	-0.850200	0.152540	-5.573637	0.0000
R-squared	0.425173	Mean dependent var		-2.750000
Adjusted R-squared	0.411486	S.D. dependent var		153.5690
S.E. of regression	117.8099	Akaike info criterion		12.42041
Sum squared resid	582925.6	Schwarz criterion		12.50151
Log likelihood	-271.2490	F-statistic		31.06543
Durbin-Watson stat	1.945902	Prob(F-statistic)		0.000002

 

Тренд в уравнение не включаем, так как его нет для исходного ряда, то есть его не может быть и у первой разности данного ряда. Проверим данную регрессию на наличие автокорреляции.

 

 

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	0.568930	Probability	0.454995
Obs*R-squared	0.602203	Probability	0.437739

 

Prob=0,45 то есть автокорреляции нет.

 

Шаг 2

Проверим гипотезу о наличии единичного корня.

Н0: (μ, ρ) = (μ, 0)

Н1: (μ, ρ) ≠ (μ, 0)

С помощью теста Вальда проверим, что c(2)=0

Wald Test:
Equation: Untitled
Null Hypothesis:	C(2)=0
F-statistic	31.06543		Probability	0.000002
Chi-square	31.06543		Probability	0.000000

 

Используем для проверки гипотезы статистику Ф3=6,73 (как и в предыдущем шаге 2 для исходного ряда).

 

 

 

 

Таким образом, 6,73<31,06, то есть нулевая гипотеза отвергается, таким образом, единичного корня нет, то есть первая разность стационарна, и сам ряд первого порядка интегрируемости, то есть inf ~ I(1).