Имеем сосуд (рис. 12, а) с глубиной воды h. Давление жидкости в какой-либо точке сосуда зависит от глубины погружения этой точки. Если взять точки А, В и С, то давления в них будут соответственно равны
Сила гидростатического давления на горизонтальную площадку (Ос
Сила гидростатического давления на все дно сосуда площадью и может быть определена по Аоомуле -
(67)
Следовательно, суммарная сила давления жидкости на горизонтальную поверхность равна весу столба жидкости/ расположенной над рассматриваемой поверхностью.
На рис. 12, б изображены три сосуда различной формы. Площадь дна Q всех трех сосудов одинакова. Все сосуды наполнены однородной жидкостью на глубину Н. На рис. 12, б Н= H1+H2. Гидростатическое давление на дно во всех сосудах будет одинаковым и равным p = pgH.
Суммарная сила гидростатического давления на- дно любого из трех показанных на рис. 12, б сосудов будет также одинаковой и равной P = pxQ = pgHQ. Спрашивается, откуда в сосуде I берется дополнительная сила по сравнению с сосудом // и куда пропадает избыток веса жидкости в сосуде /// по сравнению с сосудом II. Нет ли здесь противоречия с законами физики? Законы гидравлики утверждают, что давление жидкости не зависит от формы сосуда, а зависит от
|
|
глубины погружения площади-и ее размеров. В этом и заключается гидростатический парадокс, который может быть объяснен особым свойством жидкости передавать внешнее давление одинаковой величины по всем направлениям (закон Паскаля). Например, на дно сосуда /// действует суммарная сила гидростатического давления P = pgHQ. Что касается жидкости, находящейся в объемах (АВС)В\тл (А'В'С')В', то ее вес воспринимается наклонными стенками, а не дном сосуда. Безусловно, если сосуд /// будет стоять на столе, то стол воспринимает вес всей жидкости, находящейся в сосуде. Следовательно, никакого противоречия между законами физики и гидравлики не существует. Суммарная сила гидростатического давления на дно сосуда зависит от плотности жидкости, глубины наполнения сосуда и величины площади его дна и не зависит от формы сосуда. тогда
(69)
где jq t/dco — статический момент площади относительно оси х. Как известно, статический момент площади равен произведению площади на расстояние у0 от центра его тяжести до рассматриваемой оси. Следовательно,
На рис. 13 видно, что y0s\na = h0. Тогда, подставляя значение статического момента в уравнение (69) и заменяя через h0 получим
' (70)
При ро—ра на щит будет действовать слева атмосферное давление и справа давление со стороны жидкости, направленные навстречу друг к другу. Поэтому формула (70) для этого случая будет иметь вид
|
|
(71)
Из уравнения (71) видно, что суммарная сила давления жидкости на плоскую поверхность равна произведению площади смоченной фигуры на давление в центре ее тяжести. Нетрудно видеть также, что сила Р состоит из двух слагаемых! внешней силы суммарного гидростатического давления рой и силы избыточного давления pg/ioQ. Первая сила приложена в центре тяжести фигуры. Точка приложения второй силы (центр давления) располагается ниже центра тяжести.
3. Определение местоположения центра давления
Центром давления называют точку приложения равнодействующей избыточного гидростатического давления. Для установления размеров щитов, затворов и других частей" сооружений определяют не только величину, но и точку приложения суммарной силы гидростатического давления.
Для определения центра давления Ц. Д. обратимся вновь к рис. 13 и воспользуемся известной теоремой теоретической механики о том, что момент равнодействующей силы равен сумме моментов составляющих сил. На основании указанной теоремы напишем уравнение моментов относительно оси х, полагая, что координата центра давления равна г/с-Тогда
(72)
Из.рисунка видно, что
Равнодействующая сила
(73) В свою очередь
Но интеграл §u&<s>y* = Ix — момент инерции смоченной площади относительно оси х.
Тогда pgsina^Q^^pgsin/,, или
(74) и ордината центра давления
(75) Момент инерции /ж может быть определен по формуле
(76)
гДе /о — момент инерции смоченной фигуры, вычисленный относительно оси, проходящей через центр ее тяжести.
Подставим значение /* в уравнение (75). После несложных преобразований окончательно получим
(77)
Отсюда следует, что центр давления всегда располагается ниже центра тяжести фигуры на величину /о/Йг/о, в случае, когда щит расположен горизонтально, его центр давления совпадает с центром тяжести.
Силы давления жидкости на криволинейные поверхности. Определение точки приложения.
В расчетной практике важно уметь определять давление жидкости на криволинейные поверхности. Возьмем цилиндрическую поверхность АВ (рис. 16) и выведем расчетную зависимость для определения суммарного гидростатического давления на'эту поверхность при ро = Ра-Координатные оси х и у проведем через начало и конец криволинейной поверхности АВ; жидкость находится справа от кривой АВ. Выделим на криволинейной поверхности АВ элементарную площадку dco. Элементарную силу гидростатического давления, действующую на эту площадку, обозначим через dP. Разложим dP на горизонтальную dPx и вертикальную dPv составляющие. Спроектируем dco на горизонтальную и вертикальную плоскости xoz и уог, обозначив указанные проекции соответственно через dox и dcoy. Определим горизонтальную составляющую силу Рх равнодействующей суммарного гидростатического давления на вертикальную плоскость уог. Сила гидростатического давления на элементарную площадку da, как ранее указывалось, будет
а ее горизонтальная составляющая
или
но dw cos a = dcoj,, следовательно,
(88)
Для нахождения горизонтальной составляющей силы Рх суммарного гидростатического давления необходимо проинтегрировать выражение (88) по всей площади &у. Тогда
(89)
Но — статический момент площади Qy относительно
оси oz. Тогда мы можем написать
где Qy — проекция криволинейной поверхности АВ на вертикальную. плоскость yoz; hu — глубина погружения центра тяжести площади Qv, причем Ao = Ai/2.
Подставляя приведенные' значения в выражение (89), получим формулу для определения горизонтальной составляющей суммарного гидростатического давления, действующего на криволинейную поверхность:
(90)
По своему виду формула (90) аналогична формуле для определения суммарного дав ления на плоские фигуры с той
|
|
лишь разницей, что здесь площадь Qy есть проекция криволинейной поверхности на вертикальную плоскость yoz, а не сама криволинейная поверхность.
Определим вертикальную составляющую силу Ру суммарного гидростатического давления, действующего на криволинейную поверхность.
Согласно рис. 16 мы можем написать
но dwsin a = dti>x, следовательно,
Вертикальная составляющая сила суммарного гидростатического давления на всю криволинейную поверхность
где — объем жидкости, называемый телом дав-
ления. Тогда
(91)
Таким образом, вертикальная составляющая суммарного гидростатического давления жидкости на криволинейную поверхность равна произведению объема тела V давления на pg.
Зная составляющие силы Рх и Ру, величину равнодействующей суммарного гидростатического давления на криволинейную поверхность можем определить по формуле
(92)
Следовательно, р а вне-действующа я сила сумм'ар-ного гидростатического давлен и-я на криволинейную поверхность равна корню квадратному из суммы квадратов ее составляющих
Рх И Ру.