Точечная оценка и ее свойства
Планирование эксперимента для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий в двух выборках при известных и неизвестных дисперсиях. Математическая модель эксперимента. Принципы формирования выборок, выбора уровня значимости и принятия решений по результатам эксперимента.
Пусть ξ и η — независимые нормально распределенные случайные величины, представленные выборочными значениями соответственно
x1, x2, …, xn и y1, y 2, …, y m.
Задача состоит в проверке гипотезы о том, что равны неизвестные математические ожидания Mξ = aξ и Mη = aη. Значения дисперсий Dξ = σξ2 и Dη = ση2 известны.
Рассмотренная задача чрезвычайно важна в приложениях.
Например, на двух предприятиях производятся одинаковые товары и среднее значение некоторого параметра в контрольной партии с одного предприятия отличается от значения того же параметра, полученного при обследовании второго предприятия.
Возникает вопрос: эти различия статистически значимы или нет?
|
|
Различия обусловлены только случайными факторами, или различием в организации производства на предприятиях?
Итак, проверяем гипотезу против альтернативы .
Если гипотеза верна, то величина
подчинена стандартному нормальному распределению .
Здесь , и .
Известны статистические свойства этих случайных величин:
имеет нормальное распределение с параметрами и ;
имеет нормальное распределение с параметрами и ;
имеет нормальное распределение с параметрами и .
Зададимся некоторым уровнем значимости . Границы критической области определяются из условий и , — решение уравнения , где — функция распределения стандартного нормального распределения.
Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия и проверить попадает ли оно в критическую область.
Если или , то гипотеза о равенстве математических ожиданий отвергается, принимается альтернатива .
Если же , то принимается гипотеза .