Модель множественной регрессии. Выбор вида модели и оценка ее параметров

Связь между у и независимыми факторами х1, х2, … хn можно охарактеризовать уравнением (моделью) множественной регрессии.

Y=f (х1, х2, … хn).

Эта модель показывает, какие значения в ср принимает результативный показатель У, если переменные Хi примут какие-то свой конкретные значения.

В зависимости от функции f будем иметь линейную или не линейную множественную регрессию.

Тинтером было доказано, что усложнение формы связи м\у хi и у не принципиально влияет на конечные результаты.

Линейная модель множественной регрессии.

У=а0+а1х1+ а2х2+…+ аmхm+e

Параметры определяются с помощью методов наименьших квадратов.

 Для этого проведем все рассуждения в матричной форме. Введем следующие матричные обозначения:

;

где У вектор n значений результативного показателя.

Х – матрица n значений m независимых переменных; а матрица параметров

У=Х∙а+ε.

Заметим, что а – выборочные оценки совокупности.

Итак, метод наименьших квадратов требует мин-ии суммы квадратов отклонений исходных модели значений ,

Далее:

Из матричной алгебры известно, что , тогда:

1 – это есть матрица размерностью 1Х1, т.е. число-скаляр, а скаляр при трансформировании не меняется, поэтому Þ

Согласно условию экстремума S по а =0

;

2ХТY+2aXTX=0

XTY=aXTX

Для погашения а умножим обе части этого уравнения на (ХТХ)-1, тогда

а= (XTХ)-1∙XTY

Решение задачи нахождения матицы, а возможно лишь в том случае, если строки и столбцы матрицы Х линейно независимы.