Если плоскости общего положения заданы следами, то естественно искать точки, определяющие прямую пересечения плоскостей, в точках пересечения одноименных следов плоскостей: прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т.е. их линией пересечения (рис. 12.).
Рис. 12
Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостейα и β
(рис.102) надо:
1) найти точку M′ в пересечении следов hoα и hoβ и точку N′′ в пересечении fоα и fоβ, а по ним – проекции M′′ и N′;
2) построить проекции искомой прямой M′′N′′ и M′N′.
Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей заключается в том, что вводят вспомогательную плоскость и строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными, а в пересечении построенных линий находят общую точку двух плоскостей. Для нахождения второй общей точки построение повторяют с помощью еще одной вспомогательной плоскости.
На рисунке 13 дан пример построения линии пересечения двух плоскостей общего положения. Одна из плоскостей α задана двумя пересекающимися прямыми, а другая β – двумя параллельными прямыми.
|
|
Рис. 13
Для нахождения общих точек взяты две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости γ1 и γ 2 пересекающие каждую из плоскостей α и β. При пересечении плоскостей α и β с плоскостью γ1 образуются прямые (12) и (34), расположенные в плоскости γ1. В своем пересечении они определяют первую точку линии пересечения плоскостей α и β – точку N. Далее, с введением плоскости γ2, получены, в ее пересечении с плоскостями α и β, прямые (56) и (78). Эти прямые, расположенные в плоскости γ2, в своем пересечении определяют вторую точку, общую для плоскостей α и β – точку М. Строят точки M и N, сначала получив проекции N′, M′, а затем находят на следах fоγ1, fоγ2 проекции M′′, N′′. Этим определяются проекцииM′N′ и M′′N′′ искомой прямой пересечения плоскостей
α и β.
Построить линию пересечения двух плоскостей можно по точкам пересечения прямых линий одной плоскости с другой плоскостью.
Следовательно, надо уметь строить точку пересечения прямой линии с плоскостью общего положения (см. п. 5.3).
На рисунке 14 дан пример построения линии пересечения двух треугольников АВС и DEF.
Рис.14
Прямая MN построена по точкам пересечения стороны DF с треугольником АВС и стороны ВС с треугольником DFE. Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость α, проведенная через DF, пересекает треугольник АВС по прямой [1-2], дающей в пересечении с D′F′ точку М, являющуюся точкой пересечения прямой DF и треугольника АВС.
|
|
Проведенная через сторону ВС вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость β пересекает треугольник DEF по прямой [3-4], дающей в пересечении с ВС точку N, являющуюся точкой пересечения прямой ВС и треугольника DEF. Соединив одноименные проекции точек M и N получают искомую линию пересечения – MN. Далее определяется видимость сторон треугольников в проекциях по конкурирующим точкам.
Например, с помощью фронтально-конкурирующих точек 1 и 11, которые соответственно расположены на сторонах АВ и DF. Точка 1 расположена к наблюдателю ближе, чем точка 11, поэтому она закрывает собой эту точку и на фронтальной проекции точка – 11′′ будет невидимой и, следовательно, фронтальная проекция стороны DF так же невидимая на отрезке [1′′M′′].
С помощью горизонтально-конкурирующих точек 4 и 41, расположенных соответственно на сторонах DE и ВС определяется видимость их горизонтальных проекций. Точка 4 расположена выше, чем точка 41, поэтому горизонтальная проекция точки 4 будет видимой, а точки 41 невидимой. Следовательно, горизонтальная проекция стороны DE, на которой лежит точка 4, будет видимой, а горизонтальная проекция стороны ВС на отрезке (N′4′) – невидимой и т.д. (см. п. 5.3).
Контрольные вопросы
1. Из чего исходят при построении точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью?
2. В чем заключается построение линии пересечения двух плоскостей?
3. В каком порядке выполняют действия при построении точки пересечения прямой с плоскостью общего положения?
4. Как строят линию пересечения двух плоскостей общего положения в общем случае?
Рекомендуемая литература
1. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА, 2010. – 285 с.
1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб.для студ. высш. учеб. Заведений. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 471 с.: ил.
3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2002. – 272 с.:ил.
4. Петлина Т.П. Начертательная геометрия. Ортогональные проекции и их преобразование: Учеб.пособие (с примерами практического использования в курсовом и дипломном проектировании). – Самара: СамВен, 2005. – 168 с.
Лекция №6