Это же уравнение для свободной составляющей тока

 или .

Характеристическое уравнение цепи

 откуда

Свободная составляющая переходного тока

, а полный переходный ток .

Принужденный (установившийся) ток определяется видом заданной функции е (t), поэтому рассмотрим частные случаи:

а) Включение в цепь постоянной ЭДС Е₀.

Принужденный ток  тогда

.

Постоянную интегрирования А найдем из начального условия. При . Тогда  откуда

Полный переходный ток

,

(22.15)

где I ₀ – установившееся значение тока.

Проанализируем полученное выражение. С ростом t ток в цепи постепенно нарастает от нуля до установившегося значения и тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи  (рис.22.2).

                                Напряжения на участках цепи

(22.16)

В первый момент t =0 напряжение полностью прикладывается к индуктивности L, ток при этом равен нулю, а затем постепенно ЭДС самоиндукции падает, а ток в цепи нарастает, асимптотически приближаясь к установившемуся значению (рис.22.3).

При  (а практически при t = 3¸5τ), напряжение оказывается полностью приложенным к резистору.

б) Короткое замыкание цепи

Рассмотрим случай отключения реальной катушки (участка электрической цепи, обладающего некоторыми значениями R, L) от источника постоянного напряжения при одновременном его замыкании накоротко (рис. 22.4). В образовавшемся при этом контуре, благодаря наличию магнитного поля катушки индуктивности, ток исчезает не мгновенно. По мере того, как энергия магнитного поля рассеивается, превращаясь в резисторе в тепло, ток в контуре падает до нуля.

Процесс, происходящий в короткозамкнутом контуре RL, является свободным. Принужденный ток в этом случае равен нулю, а переходный ток

.

(22.17)

Постоянную интегрирования находим из начальных условий , где  – ток, который протекал в цепи до коммутации. Таким образом .

Следовательно, переходный ток

(22.18)

График изменения тока в цепи показан на рисунке 22.5.

Иногда, отключая цепь RL от источника Е ₀, ее замыкают на добавочное сопротивление R_д. Тогда сопротивление цепи будет равно (R + R_д) и переходный ток

Постоянная времени цепи  становится меньше и, следовательно, ток будет затухать быстрее.

При этом ЭДС самоиндукции катушки

(22.19)

Значение ЭДС в первый момент времени после переключения  больше E ₀ во столько раз, во сколько увеличилось сопротивление цепи. Это явление называют переходным перенапряжением. В реальных выключателях в результате переходных перенапряжений может возникать искра или дуга.

в) Переключение цепи (изменение ее сопротивления)

Пусть в цепи (R+r), L (рис.22.6) ключ то замыкается, шунтируя сопротивление r, то размыкается, вновь включая это сопротивление.

Будем считать, что за промежутки переключения переходный процесс в цепи успевает завершиться.

Тогда принужденный (установившийся) ток будет изменяться от значения  (при замкнутом ключе) до значения  (при разомкнутом ключе).

Пусть сначала ключ был разомкнут и в цепи протекал ток I ₂. После замыкания ключа переходный ток в цепи

(22.20)

При t =0₊  откуда  и, следовательно

(22.21)

Теперь разомкнем ключ. Переходный ток

(22.22)

При t = 0₊ имеем

(22.23)

откуда . Тогда

(22.24)

Процесс после размыкания ключа устанавливается быстрее, так как постоянная времени  меньше, чем после замыкания.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1) Перечислите основные операции при расчете переходных процессов в линейных электрических цепях.

2) Перечислите методы расчета переходных процессов в линейных электрических цепях.

3) Дайте определение классического метода.

4) Поясните суть классического метода расчета.

5) Как определяются постоянные интегрирования в классическом методе?

6) В каком виде ищут свободный ток при комплексно-сопряженных корнях характеристического уравнения?

7) Получите выражение для переходного тока в цепи с последовательным соединением резистора и индуктивной катушки при включении в эту цепь источника постоянной ЭДС.

8) На основании п.7 получите выражения для переходных напряжений на резисторе и катушки и дайте анализ полученных выражений.

9) Получите выражение для переходного тока при коротком замыкании цепи с последовательным соединением R и L.

10) Как изменится длительность переходного процесса, если цепь с последовательным соединением резистора и индуктивной катушки после отключения от источника постоянной ЭДС замкнуть на добавочное сопротивление?

11) Поясните появление переходного перенапряжения на индуктивной катушке в результате замыкания цепи R, L, после ее отключения от источника на добавочное сопротивление.