2018-02-13
379
а) Закон Ома
Пусть цепь из последовательно соединенных резистора, индуктивной катушки и конденсатора при нулевых начальных условиях при t =0 включается на напряжение u. Для такой цепи справедливо уравнение
Применим к левой и правой частям этого уравнения преобразование Лапласа, т.е. умножим каждое слагаемое левой и правой частей уравнения на 
и проинтегрируем его в пределах от нуля до бесконечности.
В результате получим соответствующее уравнение, но уже в операторной форме:
или
Это равенство можно записать в форме закона Ома
| (25.5) |
Закон Ома в операторной форме при нулевых начальных условиях имеет вид
Составляющие 
представляют в операторной форме соответствующие падения напряжения на отдельных элементах последовательной цепи, а величина Z (p) – полное операторное сопротивление цепи.
Наряду с операторным сопротивлением цепи Z (p) применяется операторная проводимость Y (p).
Z (p) и Y (p) связаны соотношением
.
Проводимость последовательной цепи, содержащей R, L и С, соответственно равна
|
|
|
Для цепи из параллельно соединенных R, L и С полная проводимость в операторной форме
б) Первый закон Кирхгофа
По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов в ветвях, связанных в один узел, равна нулю:
.
Пусть изображение каждого из токов ik по Лапласу имеет вид
ik 
Ik (p).
Тогда для получения записи первого закона Кирхгофа в операторной форме достаточно каждый из токов преобразовать по Лапласу:
В силу линейности преобразования Лапласа получим
| (25.6) |
Уравнение (25.6) выражает первый закон Кирхгофа в операторной форме:
в) Второй закон Кирхгофа
Предположим, что в некоторой разветвленной электрической цепи выбран замкнутый контур. Составим для него по второму закону Кирхгофа уравнение для мгновенных значений. Выбрав направление обхода контура, получим, например, уравнение
Предположим далее, что ik 
Ik (p), а ek Ek (p). Тогда на основании всего ранее изложенного в полученном уравнении каждое из слагаемых можно заменить соответствующим изображением. В результате получим уравнение в операторной форме:
Применяя полные операторные сопротивления, получим:
В общем виде можно записать:
| (25.7) |
Уравнение (25.7) и является математической записью второго закона Кирхгофа в операторной форме при нулевых начальных условиях.
Вопросы для самоконтроля
1. Поясните суть операторного метода расчета переходных процессов. В чем преимущество операторного метода расчета по сравнению с классическим?
2. Какую функцию называют оригиналом, а какую изображением?
3. Как можно перейти от оригинала к операторному изображению функции?
|
|
|
4. Как по операторному изображению можно найти оригинал функции?
5. Запишите выражение для операторного изображения константы, показательной функции, производной и интеграла.
6. Получите выражение закона Ома в операторной форме при нулевых начальных условиях в цепи.
7. Сформулируйте законы Кирхгофа в операторной форме записи.
8. Поясните порядок расчета переходных процессов операторным методом.
