Расчет переходных процессов методом наложения

(интеграл Дюамеля)

Формула (интеграл) Дюамеля дает возможность найти переходный ток или напряжение любого участка линейной электрической цепи при включении ее под напряжение произвольной формы (не постоянное и не синусоидальное), если известен закон изменения этого тока или напряжения при включении в эту ж цепь постоянного напряжения

Например, если цепь с последовательным соединением резистора и катушки (рис 27.1) подключить к источнику постоянного напряжения U ₀, то для случая действия на входе цепи постоянного напряжения известны законы изменения переходного тока и переходных напряжений на участках цепи:

(27.1)

; (27.2)

(27.3)

Как видно из приведенных выражений, переходный ток и переходные напряжения на участках цепи представляют собой произведение постоянного напряжения U ₀ на некоторую функцию времени.

Эту функцию времени называют переходной проводимостьюg (t) или переходной функцией K (t), если она безразмерна.

Таким образом .

Здесь K (t) – переходная функция по напряжению.

Для схемы, изображенной на рисунке 27.1, переходная проводимость является функцией времени и численно равна току i (t), возникающему в цепи при подключении к ней источника постоянного напряжения U ₀ = 1B.

Переходная проводимость любой цепи может быть рассчитана, для чего необходимо классическим или операторным методом найти закон изменения тока i (t), считая, что цепь подключается к источнику постоянного напряжения 1В.

Пусть на зажимах цепи, обладающей переходной проводимость g (t), действует напряжение u (t) произвольной формы.

Цепь в общем случае может иметь сколь угодно сложную конфигурацию. Она является пассивным двухполюсником. Ток i (t) на входе цепи, возникающий под действием напряжения u (t), можно определить следующим образом: заменим действительную кривую u (t) приближенно ступенчатой с интервалом по оси t, равным Δ x (рис.27.2). Если считать, что напряжение изменяется по такой ломаной, то это эквивалентно тому, что в момент t = 0 в цепь включается постоянное напряжение u (0), через интервал Δ х включается добавочное напряжение Δ u, через следующий интервал Δ х вновь добавлятся напряжение Δ u и т.д.

Так как рассматриваемая нами цепь линейна, к ней можно применить принцип наложения.

Следовательно, ток в какой-либо момент времени t можно определить, сложив для этого же момента времен токи, обусловленные отдельными напряжениями. При этом следует учитывать, что каждое напряжение начинает действовать в разное время и, следовательно, к моменту t переходная проводимость g (t) будет иметь различные значения для того или иного значения напряжения.

Постоянное напряжение u (0) начинает действовать при t = 0 и действует весь интервал времени от 0 до t. К моменту времени t оно создает ток, равный u (0)· g (t). Последующие скачки равны Составляющая тока, вызванная отдельным скачком напряжения, действующим в момент х, равна

Весь ток i (t) является суммой составляющих тока, вызванных отдельными скачками напряжения, т.е.

При уменьшении интервалов Δ х до бесконечно малых интервалов dx ступенчатая кривая напряжения перейдет в заданную кривую u (t), и соответственно получим точное выражение для искомого тока i (t):

(27.4)

где

Полученное выражение для i (t) носит название интеграла Дюамеля, позволяющего решить задачу о включении цепи под действие напряжения u (t) произвольной формы, причем g (t) определяется в итоге решения более простой задачи – включения той же цепи под действие постоянного напряжения.

В качестве примера рассмотрим включение изображенной на рисунке 27.3 цепи (R,C) под действие напряжения

Для данной цепи, согласно найденному ранее решению при рассмотрении включения ее под постоянное напряжение, переходная проводимость имеет выражение:

, где – постоянная времени цепи. Тогда

Находим производную от входного напряжения

откуда Учитывая, что u (0) = 0 и подставляя в формулу Дюамеля и интегрируя в заданных пределах, получаем:

2. Применение интеграла Дюамеля при сложной форме

напряжения

Пусть напряжение на входе цепи изменяется по сложному закону, как показано на рисунке 27.4:

1. При t = 0 напряжение равно u (0);

2. В интервале от нуля до t ₁ напряжение плавно растет по закону u ₁(t);

3. В момент t ₁ напряжение изменяется скачком от значения Ua до значения Ub;

4. В интервале времени от t ₁ до t ₂ напряжение плавно уменьшается по закону u ₂(t);

5. В момент t ₂ напряжение скачком падает до нуля.

Требуется найти закон изменения тока на каждом из интервалов.

Найдем закон изменения тока сначала на интервале 0 – t ₁, не включая скачка от U_a до U_b. Интегрирование проводим по х (текущее значение времени), а под t будем понимать фиксированные моменты времени, в которые требуется определить ток.

В первом интервале