Перпендикуляр и наклонная

Рассмотрим плоскость а и точку А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозна­чим буквой Н точку пересечения этой прямой с плос­костью α. Отрезок АН называется перпенди­куляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости α какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок АМ. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости а, а точка М — основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскостьα.

Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.

Длина перпендикуляра, проведенного от точки к плоскости, называется расстоянием от точки до плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая,проведенная в плоскости через основание на­клонной, перпендикулярно к ее проекции на эту плос­кость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Доказательство

на рисунке отре­зок АН — перпендикуляр к плоскости α, АМ — на­клонная, а — прямая, проведенная в плоскости α через точку М перпендикулярно к проекции НМ наклонной. Докажем, что α ┴ АМ.

Рассмотрим плоскость АМН. Прямая а пер­пендикулярна к этой плоскости, так как она перпенди­кулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН, ле­жащим в плоскости АМН (а ┴ НМ по условию и а ┴ АН, так как АН ┴ а). Отсюда следует, что прямая а пер­пендикулярна к любой прямой, лежащей в плоско­сти АМН, в частности а ┴АМ. Теорема доказана.

Эта теорема называется теоремой о трех перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами АН, НМ и АМ.

Справедлива также обратная теорема: пря­мая, проведенная в плоскости через основание на­клонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.