Інші закони розподілу

 

Закон рівної ймовірності

Якщо розсіювання розмірів залежить тільки від змінних систематичних похибок (наприклад, від зношування різального інструменту), то розподіл дійсних розмірів партії оброблених заготовок підкоряється закону рівної ймовірності.

При сталому процесі різання зношування різального інструмента відбувається за законом прямої лінії. Отже, за цим законом буде відбуватись і зміна розмірів заготовки (рис. 9, а). А це означає, що в будь-який проміжок часу ми будемо мати однакову (постійну) кількість заготовок, тобто щільність ймовірності j(x) = const, і розподіл щільності ймовірності графічно буде зображуватись у вигляді прямокутника з основою ав і висотою j(x) = const (рис. 9, б).

При інтервалі зміни випадкової величини X від а до в:

 

,

 

тобто ймовірність того, що випадкова величина X при дослідженнях буде приймати значення в інтервалі від a до в, дорівнює площі під диференціальною кривою розподілу. У відповідності з рисунком 9, б ця площа представляє собою прямокутник з основою ав і висотою j(x). Отже:

(в – а)×j(х) = 1.

 

Рис. 9. Розподіл розмірів оброблених заготовок за законом рівної імовірності

 

Звідси рівняння диференціальної функції розподілу чи щільності ймовірності буде мати вигляд:

 

(12)

 

Закон рівної ймовірності має два параметри:  і σ², які згідно з формулами:[7, (4), (8)].

 

,

 

будуть дорівнювати:

 

;(13)

;(14)

,(15)

 

де  – зміна розміру оброблюваної заготовки.

Фактичне поле розсіяння з формули (15) дорівнює:

 

.(16)

 

Закон рівної ймовірності розповсюджується на розподіл розмірів заготовок підвищеної точності (56 квалітет і вище) при їх обробці за методом пробних ходів. Через складність отримання розмірів дуже високої точності ймовірність попадання розміру заготовки у вузькі границі допуску за середнім, найбільшим чи найменшим його значенням стає однаковою.

Закон трикутника (закон Сімпсона)

У тому випадку, коли розмір х інтенсивно зростає на початку різання (інтенсивне зношування інструмента, його припрацювання), потім його ріст сповільнюється (сталий період зношування інструмента) і знову збільшується (в кінці стійкості різального інструменту), що показано на рис. 10, а, крива розподілу розмірів, яка показана на рис. 10, б, відповідає закону трикутника (закону Сімпсона), який представляє собою поєднання двох незалежних випадкових величин, розподілу розмірів яких підлягає закону рівної ймовірності.

 

а) б

Рис. 10. Розподіл за законом трикутника

 

Закон застосовується при обробці заготовок з точністю 7-го, 8-го, а в деяких випадках і 6-го квалітетів поля розсіювання:

 

.(17)

 

Закон ексцентриситету (закон Релея)

Закон розподілу ексцентриситету чи закон Релея має місце при відхиленнях ексцентриситету осей чи биття поверхонь деталей, які є безперервними випадковими величинами. Ці похибки є додатними величинами, вони змінюються від нуля до певного значення. Крива розподілу ексцентриситетів R ступінчастих циліндричних деталей показана на рис. 11, б. Вона має несиметричну форму, деталей з нульовим ексцентриситетом немає, більша частина деталей має середній ексцентриситет, деталей з великим ексцентриситетом мало.

 

Рис. 11. Утворення ексцентриситету (радіуса-вектора) втулки 1 при її обробці на циліндричній оправці 2 при різниці зазору між оправкою та отвором втулки (а) і функція y = f(R) розподілу розмірів за законом Релея (б)

Закону ексцентриситету (закону Релея) підкоряється також розподіл значень непаралельності та не перпендикулярності двох поверхонь, різностінність порожнистих деталей (при нефіксованій площині вимірювання).

Цей закон одно параметричний, і рівняння його розподілу має вигляд:

 

,(18)

 

де R – змінна величина ексцентриситету чи биття:

 

;

 

x і y – координати точки кінця R (рис. 11, а, в).

s – середнє квадратичне відхилення значень координат x і y, які мають однаковий розподіл за нормальним законом. Тому s = s_x = s_y (а розподіл R – не є нормальним).

Зв’язок між s_R,  і σ виражається наступними залежностями:

 

;(19)

.(20)

 

Фактичне поле розсіювання значень змінної величини радіуса-вектора R (ексцентриситету, різностінності, непаралельності тощо) знаходять з виразів:

 

Δ_p = 5,252s_R;(21)

Δ_p = 3,44s.(22)

Функція розподілу a(t)

У більшості випадків механічної обробки заготовок на настроєних верстатах на точність їх розмірів одночасно впливає велика кількість близьких за величиною і незалежних одна від одної випадкових причин, які обумовлюють розподіл розмірів за законом Гаусса, і змінних систематичних похибок, що виникають внаслідок рівномірного зношування різального інструменту, які визначають розподіл за законом рівної ймовірності або іншим (наприклад, степеневим) законом.

У подібних випадках зміна досліджуваної величини X_t залежить від часу і сама функція може бути подана в загальному вигляді на деякий момент часу t виразом:

 

,(23)

 

де y_i – незалежні або слабо залежні випадкові величини;

C_t – сума значень постійно діючих факторів, яка відповідає моменту часу t.

Композиція законів Гаусса і рівної ймовірності створює криві розподілу різної форми, які залежать від ступеня дії на кінцевий розподіл кожної зі складових законів. Для розрахунків точної обробки заготовок при подібній композиції законів розподілу зручно користуватись розробленою професором Н.А. Бородачовим функцією розподілу a(t).

Функція a(t) формується законом Гаусса з його параметрами s і , які залежать від точності виду обробки і технологічної системи, і законом рівної ймовірності з параметрами:

 

,

 

на величину поля розсіювання якого впливає швидкість та тривалість процесу (у випадку зношування інструменту ℓ визначається питомим зношуванням і тривалістю різання).

Таким чином, функція a(t) відображає не тільки точність, але і тривалість процесу обробки.

Функцію a(t) можна розглядати як результат рівномірного зміщення в часі вершини кривої Гаусса із середнім квадратичним σ на величину параметра 2ℓ кривої розподілу закону рівної ймовірності. На рис. 12 показано криву a(t), яка для деякого моменту часу t виражається формулою:

 

,(24)

 

де sσ – середнє квадратичне відхилення закону нормального розподілу, який визначає функцію a(t);

a₀ – середнє арифметичне значення розміру у початковий момент часу.

 

Рис. 1 Крива функції а(t)

 

Форма кривої розподілу функції a(t) залежить від параметра λ_a, який визначається за формулою:

 

.(25)

 

Лінійну функцію a(t) можна подати у вигляді:

.(26)

 

Середнє арифметичне значення розміру функції дорівнює:

 

,(27)

 

а середнє квадратичне відхилення s_a функції a(t):

 

.(28)

 

На рис. 13 подано сім’ю нормованих кривих розподілу лінійної функції a(t) при різних значеннях λ_a.

 

Рис. 13. Сім’я нормованих кривих розподілу лінійної функції a(t) при різних значеннях λ_а

 

Усі криві симетричні, мають плоскі вершини і змінюють свій вигляд від кривої 1 нормального розподілу Гаусса (при ℓ ® 0 і λ_a= 0) до прямокутника 2 розподілу рівної ймовірності при λ_a = ¥ і s ® 0.

Поле розсіювання Δ_p розмірів при функції розподілу a(t) залежить від параметра λ_a наступним чином:

 

λa	3	6	10	24
Δp	4,74σa	4,14σa	3,76σa	3,56σa

При виконанні технологічних процесів доводиться зустрічатись також зі зміною величин випадкових факторів, коли питома вага деяких із них за окремі проміжки часу підсилюється, починає домінувати над іншими, наприклад, збільшення коливання величини припуску на обробку через включення в партію заготовок, одержаних із значними коливаннями припуску внаслідок похибок початкових заготовок. При цьому форма кривої розподілу не змінюється, але змінюється величина поля розсіювання.