Задачи с окружностью, вписанной в треугольник

Задача 4: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.

Решение:

1. AC = 2r = 10 м

2. Пусть AM = AK = x, MC = CL = y

По теореме Пифагора:

x + y = 10

(x + 2)² + (y + 2)² = (x + y)²

y = 10 – x

(x + 2)² + (10 – x + 2)² = (x + 10 – x)²

(x + 2)² + (12 – x)² = 100

x² + 4x + 4 +144 – 24x + x² = 100

2x² – 20x + 148 = 100

2x² – 20x + 48 = 0

x² – 10x + 24 = 0

x₁ = 6, x₂ = 4

 y = 10 – x

x = 6                x = 4

y = 4                y = 6

3. Так как нужно найти больший катет, то берем y = 6

BC = 2 + 6 = 8 м

Ответ: BС = 8 м

Задача 5: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.

 

Дано: ∆ BCD – равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10

Найти: KA

Решение:

1. CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25

2. CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD – CA, AD = 25 – 10 = 15

3. BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30

4. ∆ CKA ~ ∆ CBD (ﮮC – общий, CK: CB = CA: CD), следовательно KA: BD = CA: CD, KA: 30 = 10: 25, KA = 10 ∙ 30: 25 = 12

Ответ: KA = 12

1. BC = x + y

BC = 18 + 12 = 30 (м)

Ответ: 30 м – диаметр описанной окружности

Задачи с окружностью, описанной около четырехугольника

Задача 6: в равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота – 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

 

Решение:

1. Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.

2.  АО=ОВ=R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 – х.

3. АО² = АК² + КО²; ОВ² = ВН² + НО²;

так как ОА²=ОВ², получим:

АК² + КО² = ВН² + НО²

90 + 64 – 16x = 0

16x = 154

ОВ² = ВН² + НО²

 

Ответ: OB = 10,625