Запись передаточной функции разомкнутой системы по асимптотической ЛАХ

Задание

Логарифмическая частотная разомкнутая система

1. Построить логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы по заданным показателям качества.

2. Определить по построенным ЛАХ и ЛФХ запасы устойчивости по усилению и по фазе.

3. Записать передаточную функцию разомкнутой системы по построенной ЛАХ.        

4. Рассчитать и построить АЧХ замкнутой системы.

 

Исходные данные

1. Постоянная ошибка: по укорению (δ_ст/х₀)·10²=0,5

2. Частота среза: ω_ср(2+n)·10^-2=3, где n=1

3. Логарифмический коэффициент передачи L₀₁ на частоте 0.1ω_ср не менее 26дБ.

4. Запас устойчивости по фазе Δφ±10⁰=40⁰

5. Постоянные времени обязательных инерционных звеньев: Т_ин1·10⁴=7, Т_ин2·10⁵=3

6. Частота гармонической помехи (ω_п/ω_ср)·10^-2=3

7. Коэффициент подавления помехи L_п не менее 80дБ

 

Построение ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы

 

Построение ЛАХ начинается с низкочастотной асимптоты. Т.к. задана статическая ошибка то система будет статической, наклон ЛАХ для низкочастотной асимптоты будет нулевым и ошибка определяется выражением δ_ст= х₀/(1+k).

 

(δ_ст/х₀)·10²=0,5=> δ_ст/х₀=0,5*10^-2 – относительная ошибка

k= х₀ / δ_ст -1 =2*10² -1=199 - коэффициент передачи разомкнутой системы

 

L₁=20lg(k)=20lg(199)=46 – логарифмический коэффициент передачи разомкнутой системы

Т.е. низкочастотная асимптота проводится через т.(1;46) параллельно оси частот.

Для обеспечения требуемого запаса устойчивости по фазе требуется, чтобы ЛАХ пересекала ось частот под наклоном -20дБ/дек на частоте среза.

 

ω_ср(2+n)·10^-2=3=> ω_ср=300/3=100 рад/с

 

Построенные участки ЛАХ соединяются прямой линией под наклоном -40дБ/дек, при этом для обеспечения п.3 исходных данных выбираем ω_с1=5рад/с, тогда т.(10;26) (т. (0.1 ω_ср ;L₀₁)) пройдёт ниже прямой с нулевым наклоном.

Сопрягающую частоту ω_с2 выбираем из условия запаса устойчивости по фазе Δφ±10⁰=40⁰ (т.к. последующие типовые и обязательные инерционные звенья будут вносить дополнительный фазовый сдвиг): ω_с2= ω_ср /2=50 рад/с.

Построенная ЛАХ сформирована последовательным соединением следующих типовых звеньев: безынерционным k(p)=199, двумя инерционными k(p)=1/(1+Т₁р)² и форсирующим k(p)=(1+ Т₂p). Т.о. передаточная функция соединения типовых звеньев будет иметь вид:

 

 

ЛФХ полученной передаточной функции строится сложением ЛФХ отдельных звеньев.

Из рис видно, что при соединении таких типовых линейных звеньев, ЛФХ системы не попадает в заданный интервал устойчивости по фазе. Для обеспечения этого условия в систему вводится дополнительное инерционное звено с сопрягающей частотой ω_с3 лежащей выше частоты среза. Система с дополнительным инерционным звеном будет проходить внутри заданного интервала при ω_с3=333рад/с.

Достраиваем ЛАХ и ЛФХ системы с учетом введенного звена, обязательных инерционных звеньев, п.5 исходных данных, и проверяем требование к подавлению гармонической помехи п.6 и п.7 исходных данных:

 

Т_ин1·10⁴=7 => Т_ин1=7·10^-4с => ω_ин1=1/Т_ин1=1.43·10³рад/с

Т_ин2·10⁵=3 => Т_ин2=3·10^-5с => ω_ин2=1/Т_ин2=3.3·10³рад/с

(ω_п/ω_ср)·10^-2=3 => ω_п=ω_ср·3·10²=100·3·10²=30·10³рад/с

L_п ≥ 80дБ

 

На рис видно, что т.(30·10³;-80) лежит выше ЛАХ разомкнутой системы, следовательно, требование к подавлению гармонической помехи выполняется.

 

Определение запасов устойчивости

 

Проведем графически по построенным ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы.

Запас устойчивости по усилению      ΔL=24дБ.

Запас устойчивости по фазе      Δφ=45⁰.

Запись передаточной функции разомкнутой системы по асимптотической ЛАХ

 

При частотах близких к 0 ЛАХ имеет нулевой наклони, значит, формируется безынерционным звеном с передаточной функцией k(p)=k. На ω_с1 наклон изменяется на – 40 дб/дек – этот наклон обеспечивается 2 инерционными звеньями с k(p)=1/(1+Т₁р)²  , Т₁=1/ ω_с1 . С таким наклоном ЛАХ идёт до ω_с2 , а потом наклон становится равным – 20 дб/дек. Изменение наклона на + 20 дб/дек обеспечивается форсирующим звеном с k(p)=(1+Т₂р), Т₂=1/ ω_с2. На ω_с3 наклон изменяется на - 20 дб/дек и становится равным - 40 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Т₃р). На  ω_ин1 наклон изменяется на - 20 дб/дек и становится равным - 60 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Т_ин1р). На ω_ин2 наклон изменяется на - 20 дб/дек и становится равным - 80 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Т_ин2р).

При построении ЛАХ разомкнутой системы использовались типовые линейные звенья, поэтому передаточная функция этой системы может быть записана как совокупность таких звеньев.

 

,

 

где k=199

Т₁=1/ω_с1=1/5=0.2с,

Т₂=1/ω_с2=1/50=0.02с,

Т₃=1/ω_с3=1/333=0.003с,

Т_ин1=7·10^-4с,

Т_ин2=3·10^-5с.