Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции. В результате операций из исходных множеств получаются новые.
Сравнение множеств
множество элемент аксиоматический принадлежность
Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:
.
Если и , то A называется собственным подмножеством В. Заметим, что . По определению .
Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:
Теорема о сравнении множеств. Для любых множеств A и B существует одна и только одна из следующих возможностей: |A| = |B|, |A| < |B|, |A| > |B|.
Основные операции над множествами
Ниже перечислены основные операции над множествами:
· объединение:
· пересечение:
· разность:
· симметрическая разность:
· дополнение:
Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (множество U, которое содержит A):
|
|
Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.
Объединением двух множеств A È B (рис. 2.2.1) – называется третье множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств A и B
Рис. 2.2.1
Пересечением множеств А∩В (рис 2.2.2), является множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам.
Рис 2.2.2
Разностью множеств A \ B = A – B (рис. 2.2.3) – называется такое множество, каждый элемент которого принадлежит множеству A, но не принадлежит множеству B.
Рис. 2.2.3
Симметрическая разность A D B (рис. 2.2.4)
Рис. 2.2.4
Дополнение к множеству A называется множество всех элементов, не входящих в множество A (рис 3.2.5)
Рис. 2.2.5