Решение задачи по методу Адамса

Оглавление

Оглавление. 2

Программы и описания. 3

Программа для решения задачи 17. 3

Условие задачи 17. 3

Решение задачи по методу Адамса. 3

Блок-схема функции main из программы 17.c. 4

Блок-схема функции Adams из программы 17.c. 5

Листинг программы 17.c. 6

Результат решения задачи 17 на ЭВМ.. 9

Вывод: 9

Программа для решения задачи 30. 10

Условие задачи 30. 10

Решение задачи по методу наименьших квадратов. 10

Блок-схема функции main из программы 30.c. 11

Блок-схема функции MMinor из программы 30.c. 11

Блок-схема функции MatrixMultiply из программы 30.c. 12

Блок-схема функции Determinant из программы 30.c. 12

Листинг программы 30.c. 12

Результат решения задачи 30 на ЭВМ.. 17

Вывод: 17

Программы и описания

Программа для решения задачи 17

Условие задачи 17.

Разработать функцию численного интегрирования системы дифференциальных уравнений методом Адамса. Прототип функции:

void Adams (

void f(double *y, double *ys, double t),

double *y,

int n,

double tn,

double tk,

int m,

double eps);

где:

f – Функция вычисления правых частей системы дифференциальных уравнений:

y – Массив размера n значений зависимых переменных;

ys – Массив размера n значений зависимых производных;

n – Порядок системы дифференциальных уравнений;

t – Независимая переменная;

tn – Начальное значение интервала интегрирования;

tk – Конечное значение интервала интегрирования;

m – Начальное число разбиений отрезка интегрирования [ tn; tk ]

eps – относительная погрешность интегрирования. Вычисления прекращаются, когда , где  – значение i -й компоненты вектора зависимых переменных при t=tk для количества разбиений отрезка интегрирования m.

Начальные шаги делаются по методу Рунге-Кутта.

Применить эту функцию для интегрирования дифференциального уравнения 3-его порядка y⁽³⁾+2y’’+3y’+y=5+x² в интервале xÎ [0;2] с шагом ∆x=0, и начальными условиями x = 0; y(0) = 1; y’(0) = 0.1; y’’(0) = 0.

Решение задачи по методу Адамса

Для запуска экстраполяционного метода Адамса требуется 4 начальных значения функции. Одно значение уже задано, а остальные получаются по методу Рунге-Кутта 4 порядка. После вычисления значения в конце отрезка происходит вычисление относительной погрешности (из текущих и ранее полученных с шагом h значений функции) и сравнение её с заданным значением. Если полученная погрешность меньше, чем заданная, то считается, что задача выполнена и происходит возврат в вызывающую программу с полученным значением функции. Если же нет – то уменьшается в 2 раза шаг и весь процесс, начиная с метода Рунге-Кутта, повторяется вновь (для вычисления новых значений функции). Так продолжается до тех пор, пока полученное значение погрешности не станет меньше чем заданное.

Для работы программы необходима функция вычисления правых частей системы дифференциальных уравнений. Это функция func (double *y, double *ys, double x). Т. к. в задаче требуется решить уравнение y⁽³⁾+2y’’+3y’+y=5+x², составляем систему дифференциальных уравнений первого порядка. Выглядит она так:

При каждом вычислении левых частей этой системы происходит дифференцирование y, y’ и y’’, т. е. вычисление соответственно новых значений y’, y’’, y’’’.

Ну, а если переложить это всё в программу на Си, то получится функция func (смотри листинг 17 задачи).