Предельные группы симметрии (группы Кюри)

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

СИММЕТРИЯ

Лекция 7

Лекция
Кристаллофизика

Содержание

7.1. Предельные группы симметрии (группы Кюри)

7.2. Основной принцип симметрии в кристаллофизике

7.3. Принцип тензорного исчисления

7.4. Антисимметрия

 

Предельные группы симметрии (группы Кюри)

 

Предельными группами симметрии (группами Кюри) называются точечные группы симметрии, содержащие оси симметрии бесконечного порядка. Кюри показал, что имеется 7 предельных точечных групп. Симметрия каждой из них наглядно изображается соответствующей геометрической фигурой.

1. Группа ∞ содержит только одну ось симметрии бесконечного порядка. Этой группе соответствует равномерно вращающийся конус (рис. 7.1). Группа являет­ся полярной и энантиоморфной, так как конус может вращаться вправо и влево. Группа ∞ является предельной для кристаллографических групп 6, 4, 3, 2, 1. Энантиоморфные фигуры – это левые и правые фигуры, которые можно совместить друг с другом только путём зеркального отражения.

2. Группа ∞m содержит ось бесконечного порядка и бесконечное число продольных плоскостей симметрии. Эту группу символизирует покоящийся круговой конус (рис. 7.1). Группа ∞m полярна, но не энантиоморфна.

Такова симметрия однородного электрического поля: вектор напряжённости можно изобразить полярной стрелкой.

      + –

          Е

Положительный и отрицательный заряды физически различны, поэтому концы стрелки совместить нельзя. Вдоль стрелки проходит много продольных плоскостей, но нет и не может быть поперечных плоскостей симметрии.

3. Группа ∞/m содержит ось симметрии бесконечного порядка, поперечную плоскость симметрии и центр инверсии – это симметрия вращающегося цилиндра: по часовой стрелке и против часовой стрелки (рис. 7.1). Ось сим­метрии является неполярной: оба конца можно совместить путём отражения в поперечной плоскости симметрии.

В группе нет энантиоморфных форм, так как лево– и правовращающиеся цилиндры можно совместить друг с другом, отражая в центре инверсии или просто перевернув и наложив без отражения. Такой симметрией обладает магнитное поле постоянного магнита и прямого тока. Северный и южный полюсы магнитного поля преобразуются друг в друга с помощью операции симметрии, присущей самому магнитному полю. Они равны друг другу и неразделимы. Круговая стрелка указывает направление вращения. У такой стрелки есть попе­речная плоскость симметрии, но нет продольных плоскостей.

Симметрия электрического и магнитного полей совершенно разная: она заложена в самих уравнениях Максвелла. Силовые линии электрического поля не замкнуты: начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах. Силовые линии магнитного поля замкнуты из-за отсутствия маг­нитных зарядов и зеркального равенства полюсов магнита.

4. Группа ∞2 содержит ось симметрии бесконечного порядка и бесконечное число поперечных осей 2-го порядка. Группа представляется цилиндром, концы которого закручены в разные стороны (рис. 7.1). В группе ∞2 возможен энантиоморфизм. Такая симметрия характерна для удельного вращения плос­кости поляризации в анизотропной среде.

5. Группа ∞/mmm содержит одну ось бесконечного порядка, одну поперечную ось и бесконечное множество продольных осей симметрии, бесконеч­ное множество продольных осей 2-го порядка и центр симметрии. Группа изо­бражается покоящимся цилиндром или стрелкой с одинаковыми концами (рис. 7.1). Такова симметрия одноосного сжимающего или растягивающего усилия.

6. Группа ∞/∞ содержит центр симметрии и бесконечное множество осей бесконечного порядка и плоскостей симметрии. Эта группа описывает симметрию обычного шара (рис. 7.1). Это симметрия скалярных воздействий: гидро­статического сжатия или однородного нагрева.

7. Группа ∞/∞m содержит бесконечное множество осей симметрии бесконечного порядка, не имеет плоскостей и центра симметрии. Эту группу изо­бражают шаром, у которого все диаметры закручены по правому или левому винту. Это кручение находится в соответствии с правой или левой энантиоморфными формами (рис. 7.1). Такова симметрия удельного вращения плоско­сти поляризации в изотропной среде.

32 точечные группы симметрии кристаллических многогранников являются подгруппами семи предельных групп. Так, подгруппами предельной группы ∞m являются: 6mm, 4mm, 3m, mm2, m, 1, ∞. Подгруппами предельной группы ∞ являются точечные группы 6, 4, 3, 2, 1.

 

 

Рис. 7.1.Фигуры, иллюстрирующие предельные группы симметрии

Низшая категория содержит точечные группы, в которых максимальный порядок любой оси равен двум. К ней относятся группы 1, 1, 2, m, 2/m, 222, mm2, 2/m 2/m 2/m.

Средняя категория содержит точечные группы, в которых присутствует одна ось порядка выше двух (ось высшего порядка). К этой категории относятся группы 3, 4, 6, 3, 4, 6, 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, 3 2/m, 42m, 6m2,4/m, 6/m,4/m 2/m 2/m, 6/m 2/m 2/m.

Высшая категория содержит точечные группы, в которых присутствуют несколько осей высшего порядка. К этой категории относятся пять групп — 23,432, 2/m3, 43m и 4/m3, 2/m.