Выбор в линейных списках

Задача выбора. Задан линейный список целых, различных по значению чисел B=, требуется найти элемент, имеющий i-тое наибольшее значение в порядке убывания элементов. При i=1 задача эквивалентна поиску максимального элемента, при i=2 поиску элемента с вторым наибольшим значением.

Поставленная задача может быть получена из задачи поиска j-того минимального значения заменой i=n-j+1 и поиском i-того максимального значения. Особый интерес представляет задача выбора при i=a/n, 0<a<1, в частности, задача выбора медианы при a=1/2.

Все варианты задачи выбора легко решаются, если список B полностью отсортирован, тогда просто нужно выбрать i-тый элемент. Однако в результате полной сортировки списка B получается больше информации, чем требуется для решения поставленной задачи.

Количество действий можно уменьшить применяя сортировку выбором только частично до i-того элемента. Это можно сделать, напри мер при помощи функции findi

  /* выбор путем частичной сортировки */  int findi(int *s, int n, int i)  {     int c,j,k;     for (k=0; k<=i; k++)     for (j=k+1; j<=n; j++)     if (s[k] < s[j])     { c=s[k];        s[k]=s[j];        s[j]=c;     }     return s[i];  }

Эта функция ищет элемент с индексом i, частично сортируя массив s, и выполняет при этом (n*i) сравнений. Отсюда следует, что функция findi приемлима для решения задачи при малом значении i, и малоэффективна при нахождении медианы.

Для решения задачи выбора i-того наибольшего значения в списке B модифицируем алгоритм быстрой сортировки. Список B разбиваем элементом K1 на подсписки B' и B", такие, что если Ki -B', то Ki>K1, и если Ki - B", то Ki<K1, и список B реорганизуется в список B',K1,B". Если K1 элемент располагается в списке на j-том месте и j=i, то искомый элемент найден. При j>i наибольшее значение ищется в списке B'; при j<i будем искать (i-j) значение в подсписке B".

Алгоритм выбора на базе быстрой сортировки в общем эффективен, но для улучшения алгоритма необходимо, чтобы разбиение списка на подсписки осуществлялось почти пополам. Следующий алгоритм эффективно решает задачу выбора i-того наибольшего элемента в списке B, деля его на подсписки примерно равной величины.

1. Если N<21, то выбрать i-тый наибольший элемент списка B обычной сортировкой.

2. Если N>21 разделим список на P=N/7 подсписков по 7 элементов в каждом, кроме последнего в котором mod(N,7) элементов.

3. Определим список W из медиан полученных подсписков (четвертых наибольших значений) и найдем в W его медиану M (рекурсивно при помощи данного алгоритма) т.е. (P/2+1)-й наибольший элемент.

4. С помощью элемента M разобьем список B на два подсписка B' с j элементами большими или равными M, и B" c N-j элементами меньшими M. При j>i повторим процедуру поиска сначала, но только в подсписке B'. При j=i искомый элемент найден, равен M и поиск прекращается. При j < i будем искать (i-j)-тый наибольший элемент в списке B".

/* алгоритм выбора делением списка почти пополам */ int search (int *b, int n, int i) { int findi(int *, int, int); int t, m, j, p, s, *w; if (n<21) return findi(b, n, i); /* шаг 1   */ p=(int)(n/7); w=calloc(p+1,sizeof(int));     /* шаги 2 и 3 */ for (t=0; t < p; t++) w[t]=findi(b+7*t, 7, 3); if (n%7!=0)    { w[p]=findi(b+7*p,n%7,(n%7)/2);        p++;    } m=search(w, p, p/2); free (w); for (j=0, t=0; t < n; t++)       /* шаг 4  */ if (b[t]>=m) j++;   if (j>i)   {     for (p=0, t=0; p < n; t++)     if (b[t]>=m)     { b[p]=b[t]; p++; }     m=search(b, j, i);        /* поиск в B" */      }   if (j < i)   {     for (p=0, t=0; t < n; t++)       if (b[t] < m) b[p++]=b[t];       m=search(b, n-j, i-j);  /* поиск в B" */   } return m; }

Рекурсивная функция search реализует алгоритм выбора i-того наибольшего значения. Для ее вызова можно использовать следующую программу

#include      #include      main() {  int search (int *b, int n, int i);  int *b;  int l, i, k, t;  scanf("%d%d",&l,&i);  printf  ("\nВыбор %d максимального элемента из %d штук",i,l);  b=(int *)(calloc(100,sizeof(int)));  for (k=0; k<100; k++)  b[k]=k;                    /* заполнение массива */  for (k=1; k < l/4; k++)      { t=b[k];                   /* перемешивание */        b[k]=b[l-k];         /* массива       */        b[l-k]=t;      }  k=search(b,l,i);           /* выбор элемента */  printf ("\n выбран элемент равный %d\n\n",k);  return 0; }

Используя метод математической индукции, можно доказать, что для функции search требуется выполнить в самом неблагоприятном случае 28*N сравнений.

Действительно, если N<21, то выполнение функции findi потребует сравнений порядка N*(N-1)/2, т.е. меньше чем 28*N. Предположим, что для любого T<N количество сравнений при выполнении функции search не более 28*T и подсчитаем, сколько сравнений потребуется функции search при произвольном значении N. Для поиска медианы в каждом из подсписков функцией findi требуется не более 7*(7-1)/2=21 сравнений, а для формирования массива W в целом не более 21*(N/7)=3*N сравнений. По предположению индукции для поиска медианы в массиве W длины N/7 требуется 28*(N/7)=4*N сравнений. После удаления из B части элементов с помощью медианы в B' (или в B") останется не более N*5/7 элементов, и для удаления ненужных элементов необходимо количество сравнений порядка N. Для поиска в оставшейся части массива (в B' или B") по предположению индукции требуется не более 28*(N*5/7)=20*N сравнений. Таким образом, всего потребуется 3*N+4*N+N+20*N=28*N сравнений, т.е. выдвинутое предположение доказано.