СОДЕРЖАНИЕ
Производная функция: ……………………………………………………………….3
1. Производная функция …………………………………………………………...3
2. Касательная к кривой ……………………………………………………………5
3. Геометрический смысл производной …………………………………………..6
4. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции …..7
Производные от элементарных функций: …………………………………………8
1. Производная постоянной ………………………………………………………...8
2. Таблица элементарных производных …………………………………………...8
3. Правила дифференцирования …………………………………………………...8
Изучение функций с помощью производной: …………………………………….9
1. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций ……………………9
2. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин ……….11
3. Максимум и минимум функции ……………………………………………….12
4. Признаки существования экстремума …………………………………………12
5. Правило нахождения экстремума ……………………………………………...14
|
|
6. Нахождение экстремума при помощи второй производной …………………14
7. Направление вогнутости кривой ………………………………………………16
8. Точки перегиба ………………………………………………………………….17
9. Механическое значение второй производной ………………………………...18
Дифференциал: ………………………………………………………………………19
1. Сравнение бесконечно малых ………………………………………………….19
2. Дифференциал функции ………………………………………………………..19
3. Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов...21
4. Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям …….22
Примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике ……….23
Список литературы …………………………………………………………………..34
Рецензия на работу ………………………………………………………………….35
Производная функция
Поставим своей задачей определить скорость, с которой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные случаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические.
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [а, b]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+∆x; первое, х, входе всего рассуждения считаем неизменным, ∆x — его приращением. Приращение ∆x; аргумента обусловливает приращение ∆у функции, причем:
∆y=f(x+∆x)-f(x). (I)
Найдем отношение приращения ∆у функции к приращению ∆x аргумента:
∆у/∆x=(f(x+∆x)-f(x))/ ∆x. (II)
|
|
По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке
[x, x+∆x].
Будем теперь неограниченно приближать ∆x к нулю.
Для непрерывной функции f(x) стремление ∆x к нулю вызывает стремление к нулю ∆у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения ∆x/∆у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).
|
(III)
С физической точки зрения этот предел есть значение скорости изменения функции f(x) относительно ее аргумента при данном значении х этого аргумента. В анализе этот предел называют производной данной функции в точке х.
Определение. Производной данной функции в точки х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю.
2°. Пусть каждому значению аргумента х соответствует определенное значение скорости изменения функции f(x). Тогда скорость f ' (х) есть новая функция аргумента х, она называется производной функцией от данной функции f(x).
Например, производная функция от квадратной функции Q=bt+at2 есть линейная функция Q' = b + 2at.
3°. Производная функция обозначается так: 1) у данной функции ставится штрих на том месте, где обычно помещается показатель степени, или 2) перед обозначением
данной функции ставится символ d/dx.
Если данная функция обозначена буквой у, то ее производная может быть обозначена:
1) у', читать: «производная функции у»,
или
2) dy/dx, читать: «дэ игрек по дэ икс».
Если данная функция обозначена символом f(x), то ее производная может быть обозначена:
1) f '(х), читать: «производная функции f(x)»,
или же
2) df(x)/dx, читать: «дэ эф от икс по дэ икс».
4°. Нахождение производной от данной функции называется дифференцированием данной функции.
Общее правило дифференцирования (нахождения производной) следующее:
1) найти приращение ∆y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента x + ∆x и x;
2) найти отношение ∆y / ∆x, для этого полученное выше равенство разделить на ∆x;
3) найти предел отношения ∆y/∆x при ∆x →0.
Пример. Найти производную функции у = х3 + 1 в любой точке x.
Решение. 1) ∆y = (x + ∆x)3 + 1 — (х3 + 1).
По выполнении действий:
∆y = Зx2*∆x+Зx*∆x 2+∆x 3;
2) ∆y/∆x=3x2 + Зx*∆x+∆x 2;
3) dy/dx = lim(3x2+3x*∆x+∆x 2 = 3x2+3x*0+0 = 3x2.
∆x→0
5°. Заметим, что производная линейной функции у= =kx+b есть величина постоянная, равная k.
Действительно, для линейной функции y = kx+b
∆у = k*∆x;
∆y/∆x=k;
6°. Производные часто встречаются в технике и естествознании. Примеры производных: 1) при движении тела пройденный путь s есть функция от времени t скорость движения в данный момент времени t есть производная от пути s по времени t, т. е.
υ=ds/dt;
2) при вращательном движении твердого тела (например, маховика) (черт) вoкруг оси Ох, угол поворота его φ есть функция времени t:
φ=f(t);
угловая скорость (омега) в данный момент времени t есть производная от угла поворота по времени, т. е.
ω=dφ/dt;
3) при охлаждении тела температура Т тела есть функция времени t,
T=f(t);
скорость охлаждения в момент времени t есть производная от температуры Т по времени с, т. е. dT/dt;
4) теплоемкость С для данной температуры t есть производная от количества теплоты Q по температуре t,
|
|
C=dQ/dt;
5) при нагревании стержня его удлинение ∆l, как показывают тщательные опыты, лишь приближенно можно считать пропорциональным изменению температуры Дt. Поэтому функция l=f(t) является не линейной, а отношение ∆l / ∆t лишь средним коэффициентом линейного расширения на отрезке [t, t+Дt]. Коэффициент линейного расширения а при данном значении температуры t есть производная от длины l по температуре t,
α=dl/dt
Касательная к кривой
1°. Возьмем на прямой АВ (черт) точку С и проведем через нее прямую СМ, не совпадающую с АВ. Вообразим, что прямая СМ вращается вокруг точки С так, что угол γ между прямыми стремится к нулю. Неподвижная прямая АВ называется в этом случае предельным положением подвижной прямой СМ.
2°, Вообразим, что на кривой АВ (черт. 93) точка М неограниченно приближается к неподвижной точке С, секущая СМ при этом вращается вокруг точки С. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на черт точка M'), существует одна и та же прямая СТ — предельное положение секущей СМ.
Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется касательной к кривой в точке С.
Точка С называется точкой прикосновения или касания.
3°. Следствие. Угол φ (черт.), образуемым касательной СТ с осью Ох, есть предел угла α, образуемого с осью Ох секущей СМ, для которой данная касательная служит предельным положением.
Действительно, угол γ между касательной СТ и секущей СМ равен разности α — φ:
α — φ = γ.
По определению касательной, угол γ — бесконечно малая величина, а поэтому
φ — limα. (I)
4°. Теорема. Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной f '(х), в точке х.
Доказательство. Угловой коэффициент касательной:
tgφ = tg(limα),
так как, по предыдущему, φ = limα.
Исключая случай φ = π/2,
|
|
в силу непрерывности тангенса имеем: tg(limα) = lim tgα.
Поэтому tgφ = lim tgα.
По формуле (VI) для СМ (черт.) имеем:
tgα=(f(x+Δx) -f (x))/Δx
Переходя к пределу при Δ x→0 (точка М при Δ x→ 0 неограниченно приближается к С, а угол α→φ), имеем:
|
|
Следовательно, (IV)
Геометрический смысл производной
1°. Справедлива обратная теорема, выражающая геометрический смысл производной: если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то:
1) в этой точке имеется касательная к графику функции,
2) угловой коэффициент ее равен значению производной f '(x) в точке х.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию, существует предел отношения Δy/Δx. Но отношение Δу/Δx есть тангенс угла секущей СМ (черт.).
|
Значит, согласно условию, существует
Из равенства (1) следует:
α=arctg(Δy/Δx).
Вследствие непрерывности арктангенса, имеем:
Но, по условию, существует и равен числу f '(х). Поэтому
|
Полагая arctg f '(x)=φ, получаем:
|
|
коэффициент t gφ = f '(x).
2°. Замечания. 1. Угловой коэффициент k прямой y=kx+b называется наклоном прямой к оси Ох. Наклоном кривой y=f(x) вточке (х1, у1) называется угловой коэффициент касательной к кривой, он равен значению производной в этой точке, т. е. tgφ = f '(х1).
2. Если касательная в точке (х1, y1) кривой y=f(x) образует с Ох: а) острый угол φ, то производная f '(x)>0, так как tgφ >0 (черт.); б) тупой угол φ, то производная f '(х1)<0, так как tgφ<0 (черт.). Если касательная параллельна оси Оx (черт.), то угол φ=0, tgφ=0 и f '(х1) = 0.
Когда касательная перпендикулярна оси Ох, то стремление α к π/2 может дать один и тот же бесконечный предел как «справа», так и «слева»: tgφ= + ∞ (черт.) пли tgφ=- ∞ (черт.), или давать «слева» и «справа» бесконечные пределы разного знака (на черт. в точке С «слева» tgφ = +∞, а «справа» tgφ= - ∞). В первом случае, в точках А и В, функция f(x), говорят, имеет бесконечную производную; во втором случае, в точке С, не существует ни конечной, ни бесконечной производной.
Заметим, что бесконечные производные рассматриваются лишь в точках непрерывности функции f(x).
3. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее производная в этой точке конечна. Функция f(x) дифференцируема в промежутке а<х<b, если ее производная f '(х) конечна в каждой точке промежутка.
4. Кривая, имеющая касательную, иногда расположена по обе стороны касательной (черт.). В этом случае говорят, что касательная пересекает кривую.
4°. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Согласно условию взаимной перпендикулярности прямых, угловой коэффициент нормали есть -1/f '(x1).