1°. Теорема. Если функция y=f(x) имеет в точке х определенную производную, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Напишем тождество:
Δy=(Δy/Δx)*Δx
так как всегда считаем Δx ≠ 0. При стремлении Δx к нулю отношение Δy/Δx имеет определенный предел (по условию) и, следовательно, есть величина ограниченная, Δx; есть бесконечно малая. Поэтому произведение (Δy/Δx)*Δx есть бесконечно малая величина, предел ее равен нулю, т. е.
|
Следовательно, данная функция y=f(x) непрерывна.
2°, Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Например, функция:
y = |х|
(черт.) в точке x = 0 непрерывна. В то же время в точке х = 0 определенной касательной не существует, функция не дифференцируема.
3°. Следствие. В точке разрыва функция не имеет производной.
Впервые отчетливое различие между понятием непрерывности и дифференцируемости было дано гениальным русским ученым Н. И. Лобачевским.
ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
|
|
Производная постоянной
Теорема Постоянная функция имеет в любой точке x производную, равную нулю.
Дано: y=c (черт.).
Требуется доказать: с’=0.
|
Отсюда
|
Таблица элементарных производных
Функция | Ее производная |
xp | px p-1, pÎR |
c (c-const) | 0 |
1/x | -1/x2 |
____ √x | ____ 1/2√x |
ex | ex |
sin x | cos x |
cos x | -sin x |
tg x | 1/cos2x |
ctg x | -1/sin2x |
y = up | pu’up-1 |
ln x | 1/x |
ax | ax lna, a>0 |
log a x | 1/(x lna), a>0, a¹0 |
arcsinx | ___________ 1/Ö1-x2 |
arccosx | ____________ -1/Ö1-x2 |
arctg x | 1/(1+x2) |
arcctg x | -1/(1+x2) |
Правила дифференцирования
Пусть c – постоянная, f(x) и g(x) – дифференцируемые функции, тогда
c = 0;
(c * f(x))’ = c * (f(x))’;
(f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g ‘(x);
(f(x) * g(x))’ = f ‘(x) * g(x) + f(x) * g ‘(x);
(f(x)/g(x))’ = (f ‘(x) * g(x) – f(x) * g ‘(x))/g2(x);
ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ
|
|