Высокочастотный фильтр Баттеруорта /12/

Синтез фильтров методом частотного преобразования. Высокочастотные и полосовые фильтры конструируются путем частотной трансформации передаточных функций фильтров низких частот. Если обозначить аргумент передаточных функций ФНЧ через p=jW, a функций ФВЧ и ПФ через s=jw, то всегда можно найти такую функцию частотного преобразования p=F(s), которая превращает один тип фильтров в другой. Для преобразования ФНЧ → ФВЧ функция частотного преобразования имеет вид:

                                                   p = 1/s,                                        (6.2.1)  

В этом нетрудно убедиться сравнением двух видов преобразования. Как известно, передаточная функция ФВЧ может быть получена из ФНЧ разностью между широкополосным фильтром (H(w)=1) и ФНЧ. Применяя этот метод для функции Баттеруорта, получаем:

|H(w)|² = 1-|H(W)|² = 1- 1/(1+W^2N) = W^2N/(1+W^2N).            (6.2.2)

С другой стороны, при W = p/j: |H(p)|² = 1/(1-p^2N). Выполняя подстановку (6.2.1) в это выражение, получаем:

|H(s)|² = s^2N/(s^2N-1).

Возвратимся из последнего выражения к аргументу w с учетом принятого равенства s=jw:

|H(s)|² = (jw)^2N/((jw)^2N-1) =(w)^2N/(1+(w)^2N),

что полностью повторяет (6.2.2) при w=W.

Подставляя p=1/s непосредственно в выражение H(p) (6.1.16) для четного значения N, получаем:

                                                      H(s) = G s²/(s²+a_m s+1).                            (6.2.3)

       Для нечетного N:

                                          H(s) = [G·s/(s+1)] s²/(s²+a_m s+1).                     (6.2.4)

После билинейного z-преобразования выражения с подстановкой s=g(1-z)/(1+z), для четного и нечетного значений N соответственно:

                                           H(z) = G g²·G_m·(1-z)²/(1-b_m z+c_m z²).                (6.2.5)

H(z) = G g²·G_m·(1-z)²/(1-b_m z+c_m z²).    (6.2.6)

                                                 G_m = 1/(g² + a_mg + 1).                                     (6.2.7)

                                     b_m = 2·G_m (g² - 1).

                                          c_m = G_m (g² - a_mg + 1).

Значения коэффициентов G_m, b_m, c_m остаются без изменения (сравнить с (6.1.21-6.1.23)). При задании частотных параметров ФВЧ в том же виде, что и для ФНЧ, формула расчетов N и w_dc получается аналогично ФНЧ, при этом в знаменателе выражения (6.1.6) отношение w_dp/w_ds заменяется на w_ds/w_dp:

                                 N = ln [d/ ] / ln(w_ds/w_dp),                   (6.2.8)

а в (6.1.7) деление членов правой части меняется на умножение:

                                                                  w_dc = w_dp·d^1/N.                                    (6.2.9)

Уравнение рекурсивной фильтрации для m-го оператора фильтра:

                                 y_k = g²·G_m (x_k-2x_k-1+x_k-2) + b_m y_k-1 - c_m y_k-2.          (6.2.10)

Уравнение рекурсивной фильтрации для дополнительного h₀(i) линейного оператора фильтра при нечетном N:

                                 y₀ = g·(x_k-x_k-1)/(g+1) + y_k-1·(g-1)/(g+1).                 (6.2.11)

Пример расчета фильтра высоких частот Баттеруорта.

Техническое задание: 

- Шаг дискретизации данных Dt = 0.0005 сек.

                                            Частота Найквиста f_N = 1/2Dt = 1000 Гц, ω_N = 6.283·10³ рад.

- Граничная частота полосы пропускания: f_p = 700 Гц, w_p = 4.398·10³ рад.

- Граничная частота полосы подавления: f_s = 500 Гц, w_s = 3.142·10³ рад.

- Коэффициенты неравномерности: А_р = А_s = 0.1.

Рис. 6.2.1.

Расчет дополнительных параметров:

1. d = A_p /(1-A_p): d= 0.484.

2. Деформированные частоты по формуле (6.1.4):

w_dp = 7.85·10³ рад. w_ds = 4·10³ рад.

3. Порядок фильтра по формуле (6.2.8): N = 4.483.  

Для расчетов принимаем N=4.

4. Частота среза фильтра по формуле (6.2.9):

w_dc  = 6.549·10³ рад (1042 Гц),     

5. Строим график функции H(w) = , w = ω/ω_dc, (рис.6.2.1).

6. Полюса p_n фильтра полностью повторяют полюса ФНЧ (рис. 6.1.2), а, соответственно, повторяются и значения коэффициентов a_m.

7. g = 0.611, G₁ = 0.543, G₂ = 0.4, b₁ = - 0.681, b₂ = - 0.501, c₁ = 0.492, c₂ = 0.098.

Рис. 6.2.2.

При сравнении коэффициентов b_m, c_m и коэффициентов в числителе передаточных функций ФВЧ с соответствующими коэффициентами ФНЧ предыдущего примера можно заметить, что в данном фильтре относительно ФНЧ произошла только смена знаков коэффициентов при нечетных степенях z. Это объясняется тем, что заданные в данном примере параметры ФВЧ по частоте соответствуют частотному реверсу ФНЧ: w' = p-w, что приводит к частотному реверсу передаточной функции низкочастотного фильтра и превращению его в высокочастотный фильтр. Этот способ обращения ФНЧ также может использоваться для расчетов ФВЧ.

8. Импульсная реакция фильтра, вычисленная по (6.2.10) при подаче на вход фильтра импульса Кронекера приведена на рис. 6.2.2.