Гармонический периодический объект

 

Предмет кроме разложения на отдельные точки можно разложить на другие элементарные части – периодические решетки.

Периодическая решетка – это структура с белыми и черными полосами.

Гармоническая периодическая решетка – это структура, интенсивность которой описывается гармонической функцией (рис.3).

В электронике существует аналог гармонической решетки – периодический во времени сигнал на входе прибора.

 

 

Рисунок 3 - Гармоническая периодическая решетка

 

Гармоническая периодическая решетка описывается выражением:

,                                                                           (5)

где a – вещественная амплитуда, b – сдвиг, T – период, q – угол ориентации.

Вместо периода можно использовать пространственную частоту , а вместо вещественной амплитуды и сдвига – комплексную амплитуду:

,                                                                                             (6)

Тогда интенсивность гармонической решетки в комплексной форме:

,                                                                                     (7)

Величину  можно выразить как , тогда интенсивность гармонической решетки будет зависеть от двух координат (x, y):

                                    (8)

где – частота в направлении x,  – частота в направлении y.

Любой объект, как было сказано выше, можно разложить на элементарные гармонические объекты, тогда изображение – это совокупность изображений элементарных объектов. Эти изображения для реальных оптических систем всегда имеют искажения, что связано с законом сохранения энергии. Идеальные оптические системы нарушают закон сохранения энергии, так как они для сохранения неизменной структуры предмета должны передавать бесконечно большую энергию.

Изображение гармонического объекта можно описать, если в выражение (9.3) подставить в качестве распределения интенсивности на предмете функцию  (8):

.                                                (9)

Если выразить координаты предмета и изображения в едином масштабе, то V=1, следовательно:

.

После замены переменных  получим:

или, после переобозначения :

.                                     (10)

Двойной интеграл в выражении (9.10) – это некоторая функция , зависящая от пространственных частот.

Обозначим , и запишем распределение интенсивности на изображении гармонического объекта в следующем виде:

.                                                                            (11)

Как показывают соотношения (8) и (11), изображение от предмета отличается только комплексной амплитудой, то есть изображение гармонической решетки любой оптической системы есть гармоническая решетка с той же частотой. Поэтому гармоническую решетку удобно использовать для исследования и оценки передачи структуры изображения. Изменение комплексной амплитуды гармонической решетки – это и есть действие оптической системы.