Примеры математических моделей случайных процессов

Из соотношения (73.1) следует

.                          (74.1)

Отметим, что здесь произведение первых двух сомножителей, согласно (73.1), равно

   .                 (74.2)

Аналогично, произведение первых трех сомножителей в (74.1) равно

 . (74.3)

74.1. Случайный процесс  называется процессом с независимыми значениями, если случайные величины  независимы в совокупности для любого  и всех различных . При этом соотношение (74.1) принимает вид:

 .                        (74.4)

Таким образом, - мерная плотность распределения вероятности  случайного процесса с независимыми значениями полностью определяется через его одномерную плотность вероятности . Столь простая структура - мерной плотности позволяет во многих случаях легко находить решения задач. Однако, столь простая математическая модель (74.4) может оказаться неадэкватной исследуемому процессу. Тогда результаты теоретических расчетов, основанные на формуле (74.4), не соответствуют результатам опыта, и возникает необходимость построения более сложной математической модели исследуемого процесса с учетом статистических связей между его различными сечениями , , что позволит получить более точное описание свойств исследуемого процесса.

74.2. Случайный процесс  называется процессом с ортогональными значениями, если

                                         (74.5)

для любых моментов времени .

74.3. Случайный процесс  называется процессом с независимыми приращениями, если случайные величины  и  независимы для любых неперекрывающихся отрезков , .

74.4. Пусть моменты времени  - упорядочены по индексу. Случайный процесс  называется марковским, если его условная плотность вероятности удовлетворяет равенству:

 .       (74.6)

Таким образом, для марковского процесса случайная величина  зависит только от   и не зависит от всех , . Принято говорить, что марковский процесс помнит свою историю только на один шаг.

Соотношение (74.1) для марковского процесса принимает вид:

.

(74.7)

Отсюда следует, что, - мерная плотность распределения вероятности  случайного марковского процесса полностью определяется его двумерной плотностью , поскольку одномерная плотность  и условная  определяются через  по формулам (73.7) и (73.4).

Марковский процесс можно рассматривать как обобщение процесса с независимыми значениями, в том смысле, что последний не помнит свою историю, а марковский процесс помнит свою историю на один шаг. Но и марковский процесс можно усложнить, удлиняя его память на два шага, на три шага и т.д. В результате получаются более точные математические модели исследуемого процесса, что, однако, достигается их усложнением. Такие модели также принято называть марковскими процессами, но самая простая из них, с памятью в один шаг (74.7), в этом ряду называется простейшим марковским процессом.