Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

 

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) - математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: аркси́нус, аркко́синус, аркта́нгенс, арккотангес. Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки "арк-" (от лат.   arc - дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin⁻¹ для арксинуса и т.п.; это считается не совсем корректным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1. Основное соотношение

 

Функция y=arcsinX, её свойства и графики.

Арксинусом числа m называется такой угол x, для которого Функция y = sin x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsin x является строго возрастающей.  (функция является нечётной).

 

 

Функция y=arccosX, её свойства и графики.

Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого

Функция y = cos x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arccos x является строго убывающей. cos (arccos x) = x при  arccos (cos y) = y при   D (arccos x) = [− 1; 1], (область определения), E (arccos x) = [0; π]. (область значений). Свойства функции arccos (функция центрально-симметрична относительно точки

 

 

Функция y=arctgX, её свойства и графики.

Арктангенсом числа m называется такой угол α, для которого  Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

 

при

при

 

Свойства функции arctg

 

,

.

 

 

Функция y=arcctg, её свойства и графики.

Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого  

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.

Функция является строго убывающей. при при 0 < y < π  Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки при любых x.

 

.

 

 

Простейшие тригонометрические уравнения.

Определение. Уравнения вада sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, a R, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.