Теорема (локальные свойства непрерывных функций)

1. Пусть функция f:E R непрерывна в точке a. Тогда f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

2. Пусть функция f(x) непрерывна в точке a и f(a), то в некоторой окрестности точки a все значения функции положительны или отрицательны вместе с f(a).

3. Если f(x), g(x) - непрерывны в точке a, то функции: f(x)+g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (при g(a)  ) непрерывны в точке a.

4. Если функция g(x):Y R непрерывна в точке b Y, а функция f:E Y непрерывна в точке a, f(a) = b, тогда композиция g° f также непрерывна в точке a.

Данная теорема следует из определения непрерывности функции и соответствующих свойств предела функции.

Глобальные свойства непрерывных функций

Определение (непрерывность функции на множестве): Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.

То, что f(x) непрерывна на множестве X обозначается следующим образом: f(x) CX.

Определение: Функция называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

То, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] обозначается следующим образом: f(x) C[a,b].

Теорема (глобальные свойства непрерывных функций).

1. (Первая теорема Вейерштрасса) Если функция f(x) C[a,b], то она ограничена на [a,b] (см. рис. 18).

2. (Вторая теорема Вейерштрасса) Если f(x) C[a,b], то она достигает на [a,b] своих точных верхней и нижней граней (рис. 19)

3. (Теорема Коши) Если f(x) C[a,b] и f(a)f(b)<, то существует c [a,b] f(c) =  (см.рис. 2).

Замечание.

1). Функции, не являющиеся непрерывными на данном отрезке, могут принимать точную верхнюю и точную нижнюю грани, например функция Дирихле.

2). Если в условиях теоремы отрезок заменить на интервал, то теорема будет неверна, например, функция 1/x на интервале (0,1) непрерывна, но не является ограниченной; функция y = x на интервале (0,1) не достигает своих точных граней.

Билет 6:

Вопрос 1: Векторное и смешанное произведение: