Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1» доказана. На самом деле у уравнения (15) есть еще решения. Нетрудно догадаться, что решениями уравнения (15) являются следующие выражения n, :
Случаи «+» и «-».
(16±) ;
(17±) ;
(18±) ;
(19±) .
Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)
******
Случай «-».
(16-) ;
(17-) ;
(18-) ;
(19-) .
Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !
Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18-)) при - четном.
Однако, если - четное, то (в (16-) и (17-) ) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию ( в Случае «-» ) с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
Вывод. Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание.
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 1.
********
Т.к. уравнение (15) симметрично для с и b (для уравнения (15) они равнозначны), то с и b могут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало)
с = B
b = С
n = N
«Новые» случаи «+» и «-».
(16´±) c =± В
(17´±) b =± С
(18±) =±N
(19±) =±К
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !
Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (18±)) при - четном.
Однако, если - четное, то (в ( (16´±) и ( (17´±) ) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию ( в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев ( пояснение ниже ),рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 1.
********
Уравнение (15) симметрично и для n и для (для уравнения 15 они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством n и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых n и меняются своими выражениями (N и К)).
Условие 3
c = C
b = B
n = К
N
«Похожие» случаи «+» и «-».
(16±) с = ± С = ± ()
(17±) b = ± В =± ()
(18´±) n = ± К = ± ()
(19´±) = ± N= ± ()
Согласно одному из Выводов (формула (14)) (явно) при . Но это возможно, глядя на (19´±) = ±N= ±() только при t- четном, при которых в (16±) и (17±) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию ( в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » ( пояснение следует) ), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.
Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
********
Пояснение (почему не надо в Условии 3 затрагивать «новые свойства »).
Запишем Условия (1, …, 3).
Условие 1 Условие 2 Условие 3 Условие 2+3
с = С с = B c = C c = B
b = B b = С b = B => b = C
n = N n = N n = К n = К
Если теперь поменять обозначения между собойв Условии 2+3 с на b, а b на c
в верхних двух строчках и n на , а на n внижних двух строчках, то вернемся снова к обозначениям в Условии 1, которое во 2-й части «Утверждения 1» нами будет исследовано до конца:
Условие 2+3 Условие 1
c = B b = B с = С
b = C => с = С => b = B
n = К n = N
n = N
Вывод.
1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3,
Уравнение (1) (, - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
2. 1-я часть «Утверждения 1» ( для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3 ) доказана.
*********
Часть вторая (Утверждения1)
Возможны случаи: либо , либо .
(Об «Исключении» из общего правила)
Доказательство
Условие 1 (продолжение).
Всего случаев 16. Два из них рассмотрели в 1-й части Утверждения 1 (Случаи «-» и «+»).
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки.
Пояснение.
Случаев всего 14, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки и число их равно числу Р перестановок из m = 4 элементов (c, b, n и ) по n = 1; 2; 3 элементов (плюсов (+) перед С, В, N и К) в каждом (по n = 0; 4 элементов (Р = 1+1 = 2) мы уже рассмотрели - это 2 случая: Случаи «-» и «+» соответственно):
********
Случай 1.
(16)
(17′)
(18)
(19)
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность :
=> .
Выразим из (25) и (26) :
=>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
, , а их сумма .
Т.к. из (8) , то => .
Из (19) с учетом (29) выразим :
, т.е. .
Т.о., , , т.е.
,
выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для b:
, т.к. из (29) вытекает .
Итак, .
Учитывая (35), получим => .
Теперь, с учетом (38),можно получить окончательное выражение для с (из (34)):
, т.е. .
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения:
, ,
, ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е.
, ,
, ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 3
(16)
(17′)
(18)
(19′).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19′), можно получить разность :
- => (26′).
Выразим из (25) и (26′) :
=>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
(30′), (31′), а их сумма .
Т.к. из (8) , то => .
Из (19´) с учетом (29) выразим :
, т.е. (33´).
Т.о., , ,