Общее утверждение, частным случаем которого является Великая теорема Ферма 6 страница

n = N ( 18 ), n = N ( 18 ),

-K ( 19´ ), -K ( 19´ ).

 

Окончательный вывод в случае 11: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= - 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 24 и 11 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

*******

«Новый» случай 25

( Отличающийся «новым свойством » от случая 11: с = С, b = В, n = N, -K)

Случай 25. Случай 10.

с = В ( 16+B ), с = - С ( 16´ ) ,

b = С ( 17+C), b = - В ( 17´),

n = N ( 18 ), n = N ( 18 ),

-K ( 19´ ), -K ( 19´ ).

 

Окончательный вывод в случае 10: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b ( сb= СВ = const´, с – b= - С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 25 и 10 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

 

*********

«Новый» случай 26

 

( Отличающийся «новым свойством » от случая 12: с = - С, b =- В, n = -N, K)

Случай 26. Случай 9.

 

с = - В ( 16-B ), с = С ( 16 ) ,

b = - С ( 17-C), b = В ( 17),

n = - N ( 18´ ), n = - N ( 18´ ),

K ( 19 ), K ( 19 ).

 

Окончательный вывод в случае 9: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 26 и 9 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

********

«Новый» случай 27

( Отличающийся «новым свойством » от случая 13: с = С, b = В, n = -N, -K)

Случай 27. Случай «-».

с = В ( 16+B ), с = - С ( 16´ ) ,

b = С ( 17+C), b = - В ( 17´),

n = - N ( 18´ ), n = - N ( 18´ ),

-K ( 19´ ), -K ( 19´ ).

 

Окончательный вывод в случае «-»: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= СВ = const´, с – b= - С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 27 и «-» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

********

«Новый» случай 28

 

( Отличающийся «новым свойством » от случая 14: с = -С, b = -В, n = N, K)

Случай 28. Случай «+».

 

с = - В ( 16-B ), с = С ( 16 ) ,

b = - С ( 17-C), b = В ( 17),

n = N ( 18 ), n = N ( 18 ),

K ( 19 ), K ( 19 ).

Окончательный вывод в случае «+»: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b ( сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 28 и «+» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

********

Вывод

1. Таким образом, «Новые» случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условия 1 и 2 (продолжения) Утверждения(1) нами рассмотрены.

 

*********

Итак, уравнение (15) , если c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) только в следующих целых числах:

а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .

А это в свою очередь означает, что и рассматриваемое уравнение  (,  - натуральные числа, где  при  - натуральном) может иметь целые решения либо при , либо при .

************

Вывод: 2-я часть «Утверждения 1» доказана.

 

В результате исследования уравнения (1) мы имеем:

 

Вывод 1. Уравнение (1)  (,  - натуральные числа,  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

Возможны случаи: либо , либо .

 *******

 

В качестве подтверждения можно рассмотреть такой пример.

Пример

Нетрудно доказать вышерассмотренным методом, что уравнение  (42), где - натуральное число, a – четное, b и c нечетные целые числа, не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b, c. ( Хотя ход доказательства несколько отличается, т.к. = = с + b - число четное при q = 2 и b и c нечетных целых числах ).

При  «Исключением» являются , или .

(При   «Исключением» являются, например,   или ,при которых а = 2 ивыполняется тождество (этот случай рассматривать не будем).

Действительно, решениями уравнения, например, a³ = c² - b² (43)являются (это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения:

 

a = α² – δ² - четное число при α и δ – нечетных или четных.

c = α³ + 3αδ² - четное число при α и δ – нечетных или четных.

b = 3α²δ + δ³ - четное число при α и δ – нечетных или четных.

 

( Такой же результат получается (a, c, b – четные числа) для любого уравнения

  (42), где  - натуральное .)

Однако вернемся к уравнению (43) a³ = c² - b².

«Исключением» являются следующие его решения:

 

1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при r = 1 и = ±3);

2. b = 3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и = 3),

 

при которых получаем соответственно тождества:

1. 2³ ≡ (±3)² – (±1)²

2. (-2)³ ≡ (±1)² – (±3)²

**********

Примечание.

1. Великая теорема Ферма для  доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результате чего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мы покажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».

2. Для степени p = 2 в уравнении   такого «противоречия» при оценке четности чисел a, b, c не возникает.

3. Данное «Утверждение 1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма для показателя  простом, т.к. она является частным случаем этого «Утверждения 1» при  простом. Имея дело с уравнением (44) , где  простое, a, b, c - целые отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного спуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.

«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении 1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам ‌‌| a | > p, | b | > p, | c | > p (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. - С. 13).

Вывод: Великая теорема Ферма для степени  простом доказана.

********

Утверждение 2,

частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q = 4

Часть 1

Уравнение  (  - четное, q = 4 = 2^m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

Часть 2

Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

 

**********

Часть первая (Утверждения 2)

Уравнение  (  - четное, q = 4 = 2^m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

Доказательство

 

Итак, имеем уравнение   (1), где - четное, числа a, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует:  =>   (2).

 Пусть  (3), где  и β - целые числа, отличные от нуля и c² + b² = 2 β (4), где β – нечетное число при c и b- нечетных.

*********

 

Примечание

 

То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который легко доказывается.

Представим нечетные числа b и c в виде:

 

b = 2n₁ + 1; c = 2n₂ + 1,

 

где n₁ и n₂ - произвольные целые числа. Тогда

 

b² + c² = (2n₁ + 1)² + (2n₂ + 1)² = 2 [2 (n₁²+n₂²+n₁+n₂) + 1],

 

где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать.

*******

 

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):

 

= , где c² + b² ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е.

 (5),

 

где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа (при – целое число k - четное число, т.к.   пропорционально 4 (явно) при b и с – нечетных числа => 2^l-2k – четное число при ).

Из соотношений (4) и (5 ) определяем b² и c²:

 =>  =>

 

Откуда β = b² + 2^l-2k (8) - нечетное число (из (4)) при b – нечетном и 2^l-2k - четном.

 

*********

Вывод:

 

1. Из соотношения (4) имеем:

 

(9) - нечетное число.

2. Из соотношения (5) имеем:

 

(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.

 

*******

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

,

 

т.е.  (11),

 

где  - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые числа  следующим образом: