Первая теорема Горгия

Теоремы софиста Горгия и современная математика

Д. Фон-Дер-Флаасс

Был такой античный софист Горгий. Знаменит он тем, что сформулировал три теоремы. Первая теорема звучит так: ничто в мире не существует. Вторая теорема: а ежели что и существует, то непознаваемо для человека. Третья теорема: а ежели всё-таки что-то познаваемо, то непередаваемо ближнему.

Другими словами, нет ничего, а ежели что-то есть, то мы об этом ничего не узнаем, а ежели даже что-то и узнаем, рассказать никому не сможем.

Я добавил бы к этим трём теоремам ещё четвёртую: если даже мы и сможем что-то рассказать, то никто не заинтересуется.

И вот эти четыре теоремы — это, собственно говоря, основные проблемы современной математики.

Первая теорема Горгия

Начнём с первой — ничто в мире не существует, или, в переводе на язык математики, математика занимается непонятно чем. В некотором смысле это действительно так. Ведь математических объектов в мире не существует. Самое простое, с чего всё начинается и чем математики всё время пользуются, — это натуральные числа. Что такое натуральные числа, все мы знаем — это 1, 2, 3, 4 и так далее. И вот то, что мы все понимаем смысл слов «и так далее» — это большая загадка. Потому что «и так далее» означает, что чисел «бесконечно много». В нашем мире нет места для того, чтобы было бесконечно много чего-то. Но все мы уверены, что когда мы думаем о натуральных числах, мы все думаем об одном и том же. Если у меня после 7 следует 8, то и у вас после 7 будет следовать 8. Если у меня 19 — простое число, то у вас 19 будет простое число. Вот почему? Вроде бы в мире этого объекта нет, но мы о нём знаем и все знаем примерно одно и то же. Это, конечно, загадка не математическая, это загадка философская, и пусть философы её обсуждают. Нам достаточно того, что, к счастью, мы всё-таки имеем представление о математических объектах и оно одно и то же у всех, кто начинает о них задумываться. И поэтому математика возможна. Но большая философская проблема остаётся.

Если, как это принято у математиков, задуматься об этом всерьёз, т.е. попытаться как-то строго об этом подумать, то тогда возникают проблемы, о которых я сейчас расскажу. Возникли они на памяти человечества совсем недавно, буквально в последнюю сотню лет.

Кроме натуральных чисел есть ещё много чего в математике. Есть наша евклидова плоскость, на которой мы рисуем всякие треугольники, углы, доказываем о них теоремы. Есть действительные числа, есть комплексные числа, есть функции, есть ещё что-то более страшное... Где-то на рубеже XIX–XX веков была проделана очень большая работа (хотя началась она, конечно, немного раньше), люди поняли, что всё многообразие математических объектов в принципе можно свести к единому понятию — понятию множества. Конечно, если мы просто имеем интуитивное представление о том, что такое множество и что такое «и так далее», мы сможем построить в принципе всю математику.

Что такое множество? Ну, это просто множество чего-то. Вопрос в том — что с множествами можно делать? Если у нас есть какое-то множество, то что означает, что оно у нас есть? Это означает, что про любой элемент нашего мира, мира математических объектов, мы можем спросить, а он в этом множестве лежит или не лежит, и получить ответ. Ответ однозначный, совершенно не зависящий от нашей воли. Вот это то первое, базовое, что можно с множествами делать, — узнавать, принадлежит элемент множеству или не принадлежит.

Конечно, нужно ещё сами эти множества как-то строить. Чтобы из них, в конце концов, построилось всё богатство математических объектов. Как их можно строить? Можно, скажем, построить пустое множество: Ø. Самое первое, самое простое. Про него мы что знаем? Что про какой бы элемент мы ни спросили, принадлежит ли он этому множеству или нет, ответ всегда будет — нет, не принадлежит. И этим пустое множество уже однозначно определено. Все вопросы о нём получают мгновенный ответ. Ура!

Теперь у нас уже есть вот это само пустое множество. И мы можем построить множество, которое ничего не содержит, кроме пустого множества: {Ø}. Опять же, что значит, что мы имеем это множество? Это значит, что про любой элемент мы можем спросить, он этому множеству принадлежит или нет. И если этот элемент — пустое множество, то ответ будет — «да». А если этот элемент любой другой, то ответ будет — «нет». Итак, это множество тоже задано.

С этого всё начинается. Можно использовать ещё несколько интуитивных операций. Если у нас есть два множества, то мы можем их объединить. Можно сказать, что теперь будет множество, в котором будут элементы из того или из другого множества. Опять же, ответ на вопрос, принадлежит ли элемент полученному множеству или нет, однозначен. Значит, объединение мы можем построить. И так далее.

В какой-то момент приходится отдельно объявить, что всё-таки у нас есть какое-то множество, в котором элементов бесконечно много. Поскольку мы знаем, что натуральные числа есть, мы верим, что бесконечное множество существует. Объявляем, что множество натуральных чисел у нас тоже доступно. Как только появляется бесконечное множество, так дальше уже можно пуститься во все тяжкие и определять уже всё что угодно. Можно определить целые числа. Целое число — это либо ноль, либо натуральное число, к которому приставлен или не приставлен знак минус. Всё это, (может, и не так очевидно, как я говорю), можно проделать и на языке теории множеств.

Можно определить рациональные числа. Что такое рациональное число? Это пара из двух чисел — числителя и (ненулевого) знаменателя. Нужно только определить, как их складывать, как их умножать между собой. И каковы условия, когда такие пары считать одним и тем же рациональным числом.

Что такое действительное число? Вот интересный шаг. Вы можете сказать, например, что это бесконечная десятичная дробь. Вполне хорошее будет определение. А что это значит — бесконечная десятичная дробь? Это значит, у нас есть какая-то бесконечная последовательность цифр, т.е. просто для каждого натурального числа мы знаем, какая цифра стоит на этом месте нашего действительного числа. Все такие последовательности образуют действительные числа. Опять же, мы можем определить, как их складывать, как их умножать, и так далее.

Кстати, математики предпочитают определять действительные числа не так, а вот каким образом. Возьмём все рациональные числа — мы их уже имеем. А теперь объявим, что действительное число — это множество тех рациональных чисел, которые его строго меньше. Вот такое очень хитрое определение. На самом деле, оно очень похоже на предыдущее. Например, если у нас есть действительное число 3, 1415926... (там дальше идёт бесконечная цепочка цифр, которую я наизусть не знаю), то какие, например, будут рациональные числа, меньшие его? Обрежем дробь на втором знаке после запятой. Получим число 3, 14, оно меньше нашего. Обрежем дробь на четвёртом знаке после запятой — получим 3, 1415, ещё одно рациональное число, меньшее нашего. Ясно, что если мы знаем все рациональные числа, меньшие нашего числа, то это число единственным образом определено. Наглядно можно представить себе такую картинку, как на рисунке 1.

Рис. 1.

Прямая — это все действительные числа, среди них где-то наше неизвестное, а слева от него много-много рациональных, которые его меньше. Все остальные рациональные будут, соответственно, его больше. Интуитивно понятно, что имеется единственная щёлочка между этими двумя наборами рациональных чисел, и вот эту щёлочку мы будем называть действительным числом. Это пример того, как, начиная с понятия множества, вся математика помаленьку раскручивается.

Зачем это нужно? Понятно, что на практике, конечно, никто этим не пользуется. Когда математик изучает, скажем, функции комплексного переменного, он не вспоминает каждый раз, что комплексное число — это пара действительных, что действительное — это бесконечное множество рациональных, что рациональное — это пара целых и так далее. Он уже работает с вполне сформированными объектами. Но в принципе всё можно расписать до самых основ. Будет очень длинно и не читаемо, но тем не менее это в принципе возможно.

А дальше чем математики занимаются? Они доказывают разные свойства этих объектов. Чтобы что-то доказать, нужно уже что-то знать, какие-то первоначальные свойства всех этих объектов. И более того, математики должны быть полностью согласны насчёт того, с каких первоначальных свойств начинать. Чтобы любой результат, полученный одним математиком, был принят всеми остальными.

Можно выписать несколько вот таких первоначальных свойств — они называются аксиомами, — и после этого из них доказывать все остальные свойства всё более и более сложных математических объектов. Но вот уже с натуральными числами начинаются трудности. Аксиомы-то есть, и мы чувствуем интуитивно, что они верны, но оказывается, бывают такие утверждения про натуральные числа, которые из этих аксиом не выводятся, но которые, тем не менее, верны. Скажем, натуральные числа удовлетворяют некоторому свойству, но из тех аксиом, которые приняты за основные, оно получено быть не может.

Сразу возникает вопрос, а откуда мы знаем тогда, что это свойство верно для натуральных чисел? Если мы его не можем вот так взять и доказать? Трудный вопрос. Получается примерно так. Если обходиться только аксиомами натуральных чисел, то об очень многих вещах в принципе даже невозможно и говорить. Например, невозможно говорить о произвольных бесконечных подмножествах натуральных чисел. Тем не менее, люди представляют себе, что это такое, и в принципе интуитивно понимают, какими свойствами эти подмножества определяются. Поэтому про некоторые свойства натуральных чисел, которые из аксиом не выводимы, люди могли знать, что они верны. И вот, математик Курт Гёдель, видимо, был первым, кто в явном виде показал некое свойство натуральных чисел, которое интуитивно верно (т.е. против того, что оно верно, математики не возражают), но при этом оно не выводимо из тех аксиом натуральных чисел, которые тогда были приняты.

Частично, и на самом деле в очень большой степени (достаточной для большинства областей математики), с этой проблемой справились, аккуратно доведя всё до множеств и выписав некоторый набор аксиом теории множеств, которые интуитивно очевидны и верность этих аксиом математиками, в общем-то, не оспаривается.

Скажем, аксиома объединения. Если у нас есть набор каких-то множеств, то мы можем сказать: а давайте образуем множество, которое содержит все элементы вот этих множеств из этого набора. Нет никаких разумных возражений против того, что такое множество существует. Есть и более хитрые аксиомы, с которыми проблем немножко больше. Мы сейчас рассмотрим три хитрые аксиомы в теории множеств, про которые в принципе могут возникнуть сомнения.

Например, есть такая аксиома. Допустим, что у нас есть множество каких-то элементов, и допустим, что по каждому из них мы можем однозначно определить значение некой функции на этом элементе. Аксиома говорит, что мы можем применить эту функцию к каждому элементу этого множества, и то, что получится, вместе снова будет образовывать множество (рис. 2). Самый простой пример: функция, переводящая x в x2, её мы умеем считать. Скажем, если у нас есть какой-то набор натуральных чисел, то мы можем каждое из них возвести в квадрат. Получится снова какой-то набор натуральных чисел. Такая интуитивно очевидная аксиома, согласны? Но вот, проблема в том, что эти функции могут быть определены очень сложным образом, множества могут быть очень большими. Бывает и такая ситуация: про нашу функцию мы умеем доказывать, что она однозначно определена, но сосчитать конкретное значение этой функции для каждого элемента множества — это чрезвычайно трудно или даже бесконечно трудно. Хотя мы знаем, что какой-то ответ уж точно есть, причём он однозначен. Даже в таких сложных ситуациях эта аксиома считается по-прежнему применимой, и как раз вот в таком самом общем виде она служит одним из источников проблем в теории множеств.

Рис. 2.

Вторая аксиома, которая, с одной стороны, очевидна, а с другой, приносит проблемы, — это аксиома взятия всех подмножеств данного множества. Она говорит, что если у нас какое-то множество есть, то у нас есть и множество, состоящее из всех подмножеств данного. Для конечных множеств это, разумеется, очевидно. Если у нас есть конечное множество из N элементов, то подмножеств у него будет всего 2N. В принципе мы их можем даже все выписать, если мы не очень ленивы. С самым простым бесконечным множеством, у нас проблем тоже нет. Смотрите: возьмём множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... и так далее. Почему нам очевидно, что семейство всех подмножеств множества натуральных чисел существует? Потому что мы знаем, что это за элементы. Как можно представить себе подмножество натуральных чисел? Давайте поставим единички у тех элементов, которые мы берём, а нолики — у тех, которые не берём, ну и так далее. Можно представить себе, что это бесконечная двоичная дробь (рис. 3).

1 0, 1

2 0

3 1

4 0

5 0

6 1

7 0

... ...

 

Рис. 3.

С точностью до маленьких поправок (вроде того, что некоторые числа могут представляться двумя разными бесконечными двоичными дробями) оказывается, что действительные числа — это примерно то же самое, что подмножества натуральных чисел. И поскольку интуитивно мы знаем, что с действительными числами всё в порядке, они есть, наглядно их можно представлять как непрерывную прямую, то в этом месте с нашей аксиомой о множестве всех подмножеств данного множества тоже всё в порядке.

Если дальше подумать, то становится уже немножко боязно. Тем не менее, математики считают, что эта аксиома всегда выполняется: если у нас какое-то множество есть, то значит, есть и множество всех его подмножеств. Иначе очень трудно было бы некоторые конструкции проделать.

И ещё одна аксиома, с которой было больше всего проблем, потому что в неё сначала не верили. Может быть, вы даже слышали её название — аксиома выбора. Её можно сформулировать многими разными способами, некоторыми — очень сложными, некоторыми — очень простыми. Я сейчас расскажу самый наглядный способ сформулировать аксиому выбора, при котором будет действительно очевидно, что она верна. Пусть у нас есть набор каких-то множеств. Они могут на самом деле быть и пересекающимися между собой, но это не важно — пусть для простоты они пока не пересекающиеся. Тогда мы можем построить произведение всех этих множеств. Что это означает? Элементами этого произведения будут вот такие штуки — мы из каждого возьмём по одному элементу и образуем из них всех одно множество (рис. 4).

Рис. 4.

Каждый способ выбрать по одному элементу из множества даёт элемент произведения этих множеств. Конечно, если среди этих множеств оказалось пустое, из которого выбрать нечего, то произведение их всех тоже будет пусто. А аксиома выбора утверждает такой совершенно очевидный факт — если все эти множества не пустые, то и произведение будет непустое. Согласны, что факт очевиден? И это, видимо, послужило, в конце концов, одним из самых сильных аргументов в пользу того, что действительно аксиома выбора верна. В других формулировках аксиома выбора звучит совсем не так очевидно, как в этой.

Наблюдения за тем, как математики доказывают свои утверждения, пытаясь перевести всю математику на язык теории множеств, показали, что во многих местах математики, сами того не замечая, эту аксиому используют. Как только это заметили, сразу стало понятно, что её нужно выделить в отдельное утверждение — раз уж мы её используем, то мы её должны откуда-то взять. Либо мы должны её доказать, либо мы должны объявить, что это базовый очевидный факт, который мы берём за аксиому и которым разрешаем пользоваться. Выяснилось, что это действительно базовый факт, что доказать его, используя только все остальные факты, невозможно, опровергнуть его тоже невозможно, и поэтому если уж его принимать, то принимать именно как аксиому. А принимать, конечно, надо, потому что в такой форме он и вправду очевиден.

Тут и возникли большие проблемы, потому что как только этот факт в явном виде сформулировали и сказали «будем его использовать», математики тут же кинулись его использовать и, используя его, доказали большое количество совершенно интуитивно неочевидных утверждений. И даже, более того — утверждений, которые интуитивно кажутся неверными.

Вот самый наглядный пример такого утверждения, которое доказали с помощью аксиомы выбора: можно взять шар, разделить его на несколько кусков и сложить из этих кусков два точно таких же шара. Что здесь означает «разделить на несколько кусков», допустим, на 7? Это значит, что про каждую точку мы говорим, в какой из этих семи кусков она попадает. Но это не то, что разрезать шар ножиком — это может быть гораздо сложнее. Например, вот такой трудно представимый, но легко объяснимый способ разрезать шар на два куска. Давайте возьмём в один кусок все точки, у которых все координаты рациональные, а в другой кусок — все точки, у которых есть иррациональная координата. Про каждую точку мы знаем, в какой из кусков она попала, т.е. это законное разделение шара на два куска. Но наглядно это представить себе очень трудно. Каждый из этих кусков, если издали на него посмотреть, будет выглядеть как шар целиком. Хотя один из этих кусков будет на самом деле очень маленький, а другой — очень большой. Так вот, доказали с помощью аксиомы выбора, что шар можно так разрезать на 7 кусков, а потом эти куски немножко передвинуть (именно передвинуть в пространстве, не искорёживая никак, не искривляя) и собрать снова так, что получатся два шара, в точности таких же, как и тот, что был в самом начале. Это утверждение, хотя и доказано, звучит как-то дико. Но потом всё-таки поняли, что лучше уж смириться с такими следствиями аксиомы выбора, чем вообще от неё отказываться. Иначе никак: либо мы отказываемся от аксиомы выбора, и тогда нам не удастся её использовать вообще нигде, и очень многие важные красивые и интуитивно понятные математические результаты окажутся недоказуемыми. Либо мы её берём — тогда все те результаты становятся благополучно доказуемыми, но заодно у нас появляются такие вот уродцы. Но люди ко многому привыкают, и к этим уродцам они тоже привыкли. В общем, с аксиомой выбора сейчас вроде проблем нет.

Получается так, что у нас есть набор аксиом для теории множеств, есть наша математика. И более-менее кажется, что всё, что могут люди сделать в математике, может быть выражено на языке теории множеств. Но тут возникает та же самая проблема, которую в своё время обнаружил Гёдель в арифметике. Если у нас есть некий достаточно богатый набор аксиом, которые описывают наш мир множеств (который есть мир всей математики), обязательно найдутся утверждения, про которые мы никак не сможем узнать, верны они или нет. Утверждения, которые из этих аксиом доказать мы не сможем, и опровергнуть тоже не сможем. Теория множеств сильно развивается, и сейчас она ближе всего к этой проблеме: часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда некоторые вопросы звучат вполне естественно, ответ на них получить хочется, но доказано, что ответа мы никогда не узнаем, потому что и тот ответ, и другой ответ из аксиом выведен быть не может.

Что делать? В теории множеств как-то пытаются с этим бороться, а именно, пытаются придумывать новые аксиомы, которые по какой-то причине всё-таки можно ещё добавить. Хотя, казалось бы, всё, что человечеству интуитивно очевидно, уже сведено к тем аксиомам теории множеств, которые были выработаны в начале XX века. А теперь оказывается, что хочется всё-таки ещё чего-то. Математики тренируют свою интуицию дальше, чтобы какие-то новые утверждения вдруг показались почему-то всем математикам интуитивно очевидными, и тогда их можно было бы принять в качестве новых аксиом в надежде, что с их помощью ответы на какие-то из таких вопросов могут быть получены.

О том, как всё это происходит, конечно, рассказать я не могу, там чрезвычайно сложные утверждения, и нужно очень глубоко вкопаться в теорию множеств, во-первых, для того, чтобы понять, что они утверждают, а во-вторых, чтобы понять, что эти утверждения действительно можно считать интуитивно очевидными и принять за аксиомы. Вот этим занимается сейчас одна из самых загадочных областей математики — теория множеств.