Третья теорема Горгия

Третья теорема — ежели что-то и познаваемо, то непередаваемо ближнему. Тут как раз самые жгучие проблемы у современной математики и самые, может быть, муссируемые. Человек что-то доказал, но рассказать это доказательство другому человеку он не способен. Или убедить другого человека в том, что он действительно это доказал. Так бывает. Самый первый пример из этой области и самый известный публике — это проблема четырёх красок. Но это ещё не самая тяжёлая ситуация, которая здесь возникает. Я сейчас расскажу немножко про проблему четырёх красок, а потом покажу ситуации более безумные.

Что такое проблема четырёх красок? Это вопрос из теории графов. Граф — это просто некоторые вершины, которые могут быть соединены между собой рёбрами. Если мы эти вершины сможем нарисовать на плоскости, и рёбрами соединить так, чтобы рёбра между собой не пересекались, получится граф, который называется плоским. Что такое раскраска графа? Мы красим его вершины в разные цвета. Если мы это сделали так, что соседние по ребру вершины всегда разного цвета, раскраска называется правильной. Хочется правильно покрасить граф, использовав как можно меньше различных цветов.

Рис. 5.

Вот, например, на рисунке 5 у нас есть три вершины, которые попарно соединены — значит, никуда не денешься, эти вершины будут обязательно иметь три разных цвета. Но вообще для покраски этого графа хватает четырёх цветов (а трёх не хватает, можете проверить).

Сто лет стояла проблема: правда ли, что любой граф, который можно нарисовать на плоскости, можно раскрасить в четыре цвета? Кто-то верил и пытался доказать, что четырёх цветов всегда хватит, кто-то не верил и пытался придумать пример, когда четырёх цветов не хватит. Ещё была такая неприятность: проблема очень легко формулируется. Поэтому многие люди, даже несерьёзные математики, накинулись на неё и стали пытаться её доказывать. И предъявляли огромное количество якобы доказательств или якобы опровержений. Посылали их математикам, кричали в газетах: «Ура! Я доказал проблему четырёх красок!» — и даже выпускали книжки с ошибочными доказательствами. Словом, большой был шум.

В конце концов её доказали К. Аппель и В. Хакен. Схему доказательства я вам сейчас примерно опишу. И заодно мы увидим, почему это доказательство непередаваемо другим. Начали люди с того, что всерьёз стали изучать, как устроены плоские графы. Они предъявили список из нескольких десятков конфигураций и доказали, что в каждом плоском графе какая-то из этих конфигураций обязательно найдётся. Это первая половина доказательства. А вторая половина доказательства — для каждой из этих конфигураций можно проверить, что если она в нашем графе есть, то его удастся раскрасить в четыре цвета.

Более точно, дальше доказательство идёт от противного. Предположим, что наш граф нельзя раскрасить в четыре цвета. Из первой половины мы знаем, что в нём есть какая-то конфигурация из списка. После этого для каждой из этих конфигураций проводится такое рассуждение. Предположим, что наш граф содержит эту конфигурацию. Выкинем её. По индукции, то, что осталось, в четыре цвета красится. И проверяем, что как бы мы ни раскрасили оставшееся в четыре цвета, вот эту саму конфигурацию докрасить нам удастся.

Самый простой пример докрашиваемой конфигурации — вершина, которая соединена всего с тремя другими. Понятно, что если в нашем графе есть такая вершина, то мы можем оставить раскрашивание её напоследок. Раскрасим всё остальное, а потом посмотрим, к каким цветам присоединена эта вершина, и выберем четвёртый. Для других конфигураций рассуждения аналогичные, но более сложные.

Теперь, как всё это было проделано? Проверить, что каждая из такого большого количества конфигураций всегда докрашивается, руками невозможно — надо слишком много времени. И вот эту проверку поручили компьютеру. А он, перебрав большое количество случаев, действительно проверил, что это так. В результате появилось доказательство проблемы четырёх красок.

Первоначально выглядело оно вот как. Человеческая часть рассуждения, записанная в толстой книге, и к ней прилагались фразы, что окончательная проверка того, что всё раскрашивается, была поручена компьютеру, и даже текст компьютерной программы приводился. Эта программа всё просчитала и всё проверила — действительно, всё нормально, и значит, теорема четырёх красок доказана.

Тут же поднялся шум — можно ли такому доказательству верить. Ведь большая часть доказательства проведена компьютером, а не человеком. «А вдруг компьютер ошибся?» — говорили такие недалёкие люди.

И проблемы с этим доказательством действительно начались, но они оказались не в компьютерной части, а в человеческой. В доказательстве были найдены недочёты. Понятно, что такой длины текст, содержащий сложные переборы, конечно, может содержать ошибки. Ошибки эти были найдены, но, к счастью, их удалось исправить.

Осталась компьютерная часть, которую с тех пор уже тоже проверили не на одном компьютере, переписывая даже программы, просто проделав тот же перебор. Ведь если сказано, что именно следует перебирать, то каждый может написать свою программу и проверить, что результат будет такой, как надо. И мне, например, кажется, что использование таких вот больших компьютерных переборов в доказательстве — это как раз не проблема. Почему? А вот по той же причине, которая на примере проблемы четырёх красок уже проявилась — что к компьютерным доказательствам доверия гораздо больше, чем к человеческим, а не меньше. Кричали, что компьютер — это же машина, а вдруг она где-то сломалась, сбилась, что-то там неправильно посчитала... А вот этого как раз быть не может. Потому что если компьютер случайно где-то засбоил, и произошла ошибка — нолик случайно заменился на единичку, — это не приведёт к неверному результату. Это приведёт к отсутствию результата, просто программа в конце концов сломается. Какая типичная операция, которую компьютер выполняет? Взяли из такого-то регистра такое-то число и передали по нему управление туда-то. Естественно, что если в этом числе произошло изменение в один бит, управление передалось вообще неизвестно куда, там написаны какие-то команды, которые очень скоро просто всё разрушат.

Может быть, конечно, ошибка в написании программы для компьютера, но это уже человеческая ошибка. Человек может прочитать программу и проверить, правильная она или нет. Так же человек может прочитать чужое доказательство и проверить, правильное оно или нет. Но у человека гораздо больше шансов ошибиться, чем у компьютера. Если вы читаете чужое достаточно длинное доказательство, и в нём есть ошибка, то есть все шансы, что вы её не заметите. Почему? В первую очередь, потому, что раз сам автор доказательства сделал эту ошибку — значит, она психологически обоснована. То есть, он не просто так её сделал, по случайности — это в принципе такое место, где типичный человек может сделать такую ошибку. Значит, и вы можете сделать ту же самую ошибку, читая это место и соответственно её не заметив. Поэтому проверка человеком человеческого же доказательства — это гораздо менее надёжный способ проверки, чем проверка результата работы компьютерной программы с помощью запуска её ещё раз на какой-то другой машине. Второе практически гарантирует, что всё нормально, а первое — это как повезло.

И вот с этой проблемой — найти ошибку в записанном людьми математическом тексте — становится всё труднее, а иногда и вообще невозможно — это серьёзная проблема современной математики. С ней нужно бороться. Как — сейчас пока никто не знает. А проблема большая и всерьёз возникла именно сейчас — тому несколько примеров существует. Вот, возможно, менее известный, но один из самых современных. Это старинная гипотеза Кеплера. Говорит она об укладывании шариков в трёхмерном пространстве.

Давайте сначала посмотрим, что происходит в двумерном пространстве, т.е. на плоскости. Пусть у нас есть одинаковые кружочки. Как плотнее всего нарисовать их на плоскости, чтобы они не пересекались? Есть ответ — надо поместить центры кружков в узлы шестиугольной решётки. Это утверждение не совсем тривиальное, но лёгкое.

А в трёхмерном пространстве как бы вы стали плотно упаковывать шарики? Сначала разложим на плоскости шарики так, как показано на рисунке 6. Потом сверху положим ещё один такой же слой, вдавливая до упора, как показано на рисунке 7. Потом сверху ещё один такой же слой, и так далее.

Рис. 6.

Рис. 7.

Интуитивно очевидно, что это и есть самый плотный способ уложить шарики в трёхмерном пространстве. Кеплер утверждал (и, похоже, первым сформулировал), что эта упаковка должна быть самой плотной упаковкой в трёхмерном пространстве.

Произошло это в XVII веке, с тех пор эта гипотеза и стоит. В начале XXI века появилось её доказательство. И любой из вас может его достать и прочитать. Оно в открытом доступе лежит в Интернете. Это статья в двести с чем-то страниц. Она написана каким-то одним человеком и тоже содержит как некоторые чисто математические рассуждения, так и компьютерный счёт.

Сначала автор математическими рассуждениями пытается свести задачу к проверке конечного числа случаев. После этого, иногда используя компьютер, он это конечное, но очень большое число случаев проверяет, всё сходится, и — ура! — гипотеза Кеплера доказана. И вот проблема с этой статьёй — её никто не может прочитать. Потому что она тяжёлая, потому что местами не совсем понятно, что перебор действительно полный, потому что просто скучно её читать. Двести страниц скучных вычислений. Человек её прочитать не в силах.

Вообще говоря, все верят, что эта статья содержит доказательство этой теоремы. Но, с другой стороны, никто до сих пор не проверил это честно, в частности, эта статья не опубликована ни в одном рецензируемом журнале, т.е. никакой уважающий себя математик не готов поставить подпись под утверждением, что «да, всё верно, и гипотеза Кеплера доказана».

И это не единственная ситуация, и в других областях математики такое тоже встречается. Совсем недавно я напоролся на список нерешённых проблем в теории множеств, в теории моделей, в разных областях. И вот к одной гипотезе там комментарии такие: она якобы опровергнута в статье вот такой-то, но никто в это не верит.

Вот такая ситуация. Человек доказал утверждение, но передать это другому, рассказать это другому он не в силах.

Самый страшный пример — это, конечно, классификация конечных простых групп. Я не буду формулировать точно, что это такое, что такое группы, что такое конечные группы, если захотите — узнаете сами. Конечные группы все в некотором смысле собираются из простых блоков, которые называются простыми группами, а те уже нельзя разобрать на более мелкие блоки. Этих конечных простых групп бесконечно много. Полный их список выглядит так: это 18 бесконечных серий, к которым ещё в конце добавлены 26 отдельных групп, которые построены каким-то отдельным способом и ни в какую серию не входят. Утверждается, что этот список содержит все конечные простые группы. Задача страшно нужная для математики. Поэтому в 70-е годы, когда появились некоторые особенные идеи и надежды на её решение, на задачу накинулись несколько сот математиков из разных стран, из разных институтов, каждый брался за свой кусочек. Были и, так сказать, архитекторы этого проекта, которые примерно представляли, как всё это вместе потом будет собрано в единое доказательство. Понятно, что люди торопились, конкурировали. В результате, кусочки, которые они делали, — это в совокупности около 10 000 журнальных страниц, и это только то, что опубликовано. А есть ещё и статьи, которые существовали или в виде препринтов, или в виде машинописных копий. Я сам одну такую статью читал в своё время, она так никогда и не была опубликована, хотя включает в себя заметный кусочек этого полного доказательства. И вот эти 10 000 страниц разбросаны в разных журналах, написаны разными людьми, с разной степенью понятности, и обычному математику, не связанному с этим и не являющемуся одним из архитекторов этой теории, мало того что невозможно прочитать все 10 000 страниц, так ещё и очень трудно понять само устройство доказательства. К тому же с тех пор некоторые из этих архитекторов просто умерли.

Объявили, что классификация завершена, хоть доказательство и существует лишь в виде текста, который никто прочитать не может, и это привело к следующей неприятности. Новые математики с меньшей охотой стали идти в теорию конечных групп. Всё меньше и меньше людей этим занимается. И вполне может случиться, что через 50 лет уже вообще на Земле не найдётся человека, который будет способен что-то понять в этом доказательстве. Будут ходить легенды: наши великие предки умели доказывать, что все конечные простые группы перечислены вот в этом списке и что других нет, но сейчас это знание утеряно. Вполне реалистичная ситуация. Но, к счастью, не один я считаю эту ситуацию реалистичной, поэтому с ней борются, и я слышал, что даже организовали специальный проект «Философские и математические проблемы, связанные с доказательством классификации конечных простых групп». Есть люди, которые пытаются это доказательство привести к читаемому виду, и, может быть, когда-нибудь это действительно получится. Есть люди, которые пытаются разобраться, что же делать со всеми этими трудностями. Человечество помнит об этой задаче, и, значит, оно с ней в конце концов справится. Но тем не менее вполне может быть, что будут появляться другие такие же сложные теоремы, которые могут быть доказаны, но доказательство которых никто не способен прочитать, никто не способен никому рассказать.