Занятие 3 - Расчет коэффициентов математической модели на примере исследования операции вырубки листовых образцов

 

Цели работы:

Ä закрепление основных приемов создания и форматирования таблицы

Ä закрепление методов построения точечных графиков

Ä освоение основных методов обработки многофакторных экспериментов

Постановка задачи [1]:

Исследуется влияние величины зазора Z между пуансоном и матрицей на качество среза и силу P, необходимую для вырубки листовых образцов.

Заготовки после вырубки осматривают и оценивают качество среза по 3-х бальной шкале. Наилучшим срезом, оцениваемым в 3 бала, считается состоящий из трех зон (I - зона скругления, II - блестящий поясок, III - зона скола) При этом зона I должна иметь незначительный размер. Если эта зона возрастает по сравнению с наименьшей, полученной при вырубке заготовки из данного материала, или вырубленный образец имеет заметный прогиб, то качеству среза присваивают оценку 2 бала. Если же поверхность рваная, с дополнительными поясками, то качеству среза присваивают оценку 1 балл.

Вырубаются кружки из стали 45 и меди в матрице диаметром 25 мм. Толщина заготовок 7 мм. Уровни варьирования зазора, по отношению к толщине заготовки составляют 0.03, 0.05 и 0.1.

По результатам опыта необходимо построить зависимость качества реза и силы вырубки от зазора между пуансоном и матрицей для каждого из используемых материалов и определить оптимальные величины зазоров.

Методы решения с использованием Excel:

При использовании методов планирования эксперимента изучаемый объект представляют в виде некоторого "черного ящика", выходные параметры которого зависят от входных параметров. Математическая модель, отражающая связь между выходными и контролируемыми входными параметрами записывают в виде полинома следующего вида:

 

 (1)

 

Задачей обработки эксперимента является определение значений коэффициентов регрессионной модели. Расчет коэффициентов производят на основе метода наименьших квадратов, путем минимизации суммы квадратов разностей между экспериментальными и рассчитанными по модели значениями. Естественно, что количество опытов в эксперименте должно быть не меньше количества неизвестных коэффициентов в модели.

Для нахождения коэффициентов моделей типа (1) в Excel применяют встроенную функцию ЛИНЕЙН. Функция ЛИНЕЙН рассчитывает статистику для ряда с применением метода наименьших квадратов, чтобы вычислить прямую линию, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные. Функция возвращает массив, который описывает полученную прямую. Поскольку возвращается массив значений, функция должна задаваться в виде формулы массива. Уравнение для прямой линии имеет следующий вид:

 

y = b+m₁d₁ + m₂d₂ +. ( 2)

 

где зависимое значение y является функцией независимых значений d_i. Значения m_i - это коэффициенты, соответствующие каждой независимой переменной d_i, а b - это постоянная.

Сравнение формул (1) и (4) показывает, что если в качестве переменных d_i использовать значения переменных x_i, а также различные функции от x_i, то коэффициент b в формуле (2) имеет смысл коэффициента b₀ в формуле (1), а коэффициенты m_i - соответственно коэффициентов b_i, b_ij, b_ii

Функция ЛИНЕЙН возвращает массив значений коэффициентов в обратном порядке {m_n; m_n‑1;.; m₁; b}. ЛИНЕЙН может также возвращать дополнительную регрессионную статистику.

Синтаксис функции: ЛИНЕЙН (Y; D; K; C)

Здесь: Y - множество (обычно столбец) известных значений y

D - множество (обычно диапазон) известных значений d. Если множество Y - столбец, то диапазон D должен иметь столько же строк, сколько столбец значений Y. Количество столбцов диапазона D определяет количество n неизвестных коэффициентов m_i регрессионной модели

K - логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0. Если K=1 (имеет значение ИСТИНА), то b вычисляется обычным образом. Если K=0 (имеет значение ЛОЖЬ), то b полагается равным 0.

С - логическое значение, которое указывает, требуется ли вернуть дополнительную статистику по регрессии. Если С=1 (ИСТИНА), то функция ЛИНЕЙН возвращает дополнительную регрессионную статистику (дополнительную информацию о регрессионной статистике можно получить воспользовавшись справкой Excel). Если С=0 (ЛОЖЬ) то функция ЛИНЕЙН возвращает только коэффициенты m и постоянную b.

В настоящей работе математическая модель качества среза y1 и силы вырубки y2 записывают в виде полинома следующего вида:

 

 (3)

 

Здесь x₁ - значение зазора в кодовом масштабе, x₂ - код материала, z₁ - квадратичная функция от x₁.

В натуральном масштабе матрица плана эксперимента выглядит следующим образом:

 

Номер опыта	X1	X2	Качество среза, y1	Сила вырубки [кН], y2
1	0,03	0	2	197
2	0,05	0	1	195
3	0,1	0	1	192
4	0,03	1	3	100
5	0,05	1	2	98
6	0,1	1	1	96

 

Для обработки данных эксперимента переходят к кодированному масштабу. В данной задаче по методике, изложенной в [1] получены следующие формулы для перехода от натурального к кодированному масштабу:

 

 (4)

 

Оптимизацию полученных регрессионных моделей можно осуществить двумя способами: либо визуально, построив графики, либо используя методы оптимизации, реализованные в Excel.