2020-01-14
1524
Отделение корней производим графическим методом с обязательным подтверждением результата аналитически (б)
а)
   
|
б) На отрезке [0; 1] функция f(x) меняет знак, т.е. существует, по крайней мере, один корень. Поскольку знак первой производной f1(x)= -sin(x) - 3 < 0 на выбранном отрезке остается постоянным, то можно сказать, что функция на этом отрезке монотонна. Следовательно, уравнение 1 - 3х + cos(x) = 0 имеет единственный корень на отрезке [0;1]. Знакопостоянство второй производной f2(x)= -cos(x)<0 на выбранном отрезке является необходимым условием применения метода Ньютона и метода хорд.
Уточнение корня с использованием MathCad
Метод половинного деления
Исследование задания
· Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [0;1] функция 
меняет знак (
) и монотонна (f’(x)<0), то условие сходимости выполняется.
· Выберем за начальное приближение середину отрезка 
· Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода половинного деления справедливо условие |bn – an|<ε, т.е. длина отрезка, полученного на n-ом шаге должна быть меньше заданной точности - 
Результаты «ручного расчета» трех итераций
1 итерация
    f(x0)=0.377
f(a)>0, f(x0)>0 и f(b)<0
следовательно,  
2 итерация
    f(x1)=-0.518
f(a1)>0, f(x1)<0 и f(b1)<0
следовательно,  
3 итерация
 
  f(x2)=-0.064
f(a2)>0, f(x2)<0 и f(b2)<0
следовательно,  
|
Результаты вычислений представлены в форме таблицы.
Таблица 1-2а
| n | a | b | f(a) | f(b) | (a+b)/2 | f((a+b)/2) | b-a |
| 1 | 0 | 1 | 2 | -1.459 | 0.5 | 0.377 | 0.5 |
| 2 | 0.5 | 1 | 0.377 | -1.459 | 0.75 | -0.518 | 0.25 |
| 3 | 0.5 | 0.75 | 0.377 | -0.518 | 0.625 | -0.064 | 0.125 |
| 4 | 0.5 | 0.625 | 0.377 | -0.064 | 0.5625 | 0.158 | 0.0625 |
После трех итераций приближение к корню – середина отрезка x3=0.5625.
Погрешность численного решения нелинейных уравнений
Оценим погрешности результатов после трех итераций 
.
Метод итерации
