2020-01-14
160
· Проверка выполнения условий сходимости. Для сходимости метода необходимо знакопостоянство 
на отрезке [a;b].
· Выбор начального приближения. Рекуррентная формула метода хорд имеет вид:
где 
- неподвижная точка.
Неподвижен тот конец отрезка [a;b ], для которого знак функции f(x ) совпадает со знаком ее второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точку х0.
На этапе отделения корня было показано, что для функции f(x)=1–3x+cosx вторая производная 
<0 на отрезке [0;1] и неподвижной точкой является точка x=b=1, так как 
. Таким образом, полагая 
=a=0, получим сходящуюся последовательность приближений к корню.
В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид
, 
=0
· Условие окончания процесса уточнения корня. Оценку погрешности можно проводить по любой из формул 
или 
, где m1 и M1 – наименьшее и наибольшее значения 
на отрезке. В случае если M 1< m1 можно использовать правило останова 
.
Ручной расчет» трех итераций
|
|
|
Для получения решения уравнения методом хорд воспользуемся следующей рекуррентной формулой:
|
Результаты вычислений представлены в виде следующей таблицы 1-2b:
| n | Xn | f(xn) |
| 0 | 0 | 2 |
| 1 | 0.5781 | 0.1032549 |
| 2 | 0.6059 | 4.080772 •10-3 |
| 3 | 0.6070 | 1.590771•10-4 |
Погрешность численного решения нелинейных уравнений
Погрешность результата, вычисленного методом хорд, оцениваем по формуле 
. Тогда после трех итераций
Решение уравнения средствами MathCad
Для решения нелинейных уравнений вида f(x) = 0 в Mathcad используется функция root(f(x), x, a, b), где f(x) – выражение, стоящее в левой части решаемого уравнения, x – аргумент функции, a и b –границы отрезка с корнем. В приведенном ниже примере z - имя переменной, которой присваивается найденное значение корня. Функция root реализует вычисление корня уравнения численным методом с точностью TOL ( по умолчанию TOL =1.10-3).
|
Лабораторная работа по теме
«Интерполяция функций»
