2020-01-14
257
· Для использования метода итерации необходимо привести уравнение f(x)=0 к виду 
. Тогда рекуррентная формула 
. Приведем уравнение 
к виду x = (cos(x)+1)/3и проведем исследование.
|
Для сходимости процесса итерации необходимо, чтобы 
при 
. Если 
то сходимость не обеспечена. В приведенном примере условие сходимости выполняется и можно использовать итерирующую функцию 
в рекуррентной формуле для уточнения корня методом итераций, что и будет показано ниже. Однако, в случаях, когда свободный х выразить не удается, или когда целесообразно воспользоваться следующим приемом, позволяющим обеспечить выполнение условий сходимости.
Построим функцию 
где параметр 
может быть определен по правилу:
если 
то 
если 
то 
где 
.
Приведем пример выбора параметра λ и итерирующей функции. Для заданного уравнения 
исследовано, что
f `(x)<0, тогда 
.
f `(0)= -3, f `(1)=-3.841,
r = max{ |-3|, |-3.841| }=3.841, тогда 0<λ<0.26.
Полагаем λ=0.25. Тогда рекуррентная формула xn+1 = φ(xn),
где φ(x)= 0.25(1 - 3x + cos x) + x = 0.25(1+x+cos x).
|
|
|
· Выберем начальное значение (в методе итераций x0– произвольное значение из отрезка [a;b] ), например, x0=0, и с использованием итерационной функции 
выполним три итерации.
· Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода итерации справедливо соотношение:
. Процесс итерации следует продолжать до тех пор, пока не выполнится условие останова: 
, где
q=max |φ `(x)| на выбранном отрезке. Так как q= 
=0.28, условие останова будет 
. Если q <1/2, то можно использовать условие 
Ручной расчет» трех итераций
Для получения решения уравнения методом итерации необходимо воспользоваться следующей рекуррентной формулой: 
, 
=0
|
|
Результаты вычислений представлены в таблице 1-2b
| k | Xк | f(xк) |
| 0 | 0 | 2 |
| 1 | 0.6667 | -0.2141 |
| 2 | 0.5953 | 4.21 • 10-2 |
| 3 | 0.6093 | -7.9496 • 10-3 |
Погрешность численного решения нелинейного уравнения
Оценим погрешность результата после трех итераций:
.
Метод Ньютона
