Численные методы решения задач

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

 

К линейным уравнениям относятся алгебраические и трансцендентные уравнения. Уравнение называется алгебраическим, если функция f(x) представляет собой многочлен, какой-либо степени.

f(x)=a₀x^m+a₁x^m-1+…+a_m-1x+a_m=0

m 3

Если же в функцию f(x) входят одновременно разные элементарные функции, то такое уравнение называется трансцендентным.

f(x)=sinx+lnx=0

Такие уравнения решаются приближенными методами. Решение разбивается на 2 этапа:

1). Отделение корней, т.е. нахождение достаточно малой области, содержащий один корень.

2). Уточнение корня заданной степенью точности.

Здесь известны следующие методы итераций, ньютона, хорды касательной половинного деления и т.д.

Отделение корней.

Пусть решается уравнение f(x)=sinx+lnx=0. Отделение корней можно сделать 2-мя способами:

графическим и алгебраическим.

В графическом методе на координатной плоскости строится график функции и находится область пересечения функции с осью Х. В нашем случае удобно функцию разделить на 2 функции и на координатной плоскости построить оба графика, и найти область их пересечения.

sinx=-lnx

f₁(x)=sinx

f₂(x)=-lnx

x [;1]

 

 

 

В алгебраическом методе отделения корней с некоторым шагом h просматривают достаточно большую область существования корня уравнений.

f(x)

у

 

х

x

xi

xi+h

h

b

a

x_i+1=x_i+h

 

 

Из математики известно, что непрерывная функция на небольшом отрезке содержит корень уравнения, если на концах отрезках функция f(x) имеет разные знаки.